Электронные явления переноса в полупроводниках - Аскеров Б.М.
Скачать (прямая ссылка):
(0,-?)= P1oa (0, -kz), z = о,
, (24.11)
Фа (d, kz) = р2ФсГ (d, -kz), z = d.
Подставляя (24.6) и (24.10) в кинетическое уравнение (24.2), а также учитывая (24.4), получим уравнение для функции Ф (k, Z):
+ + ф = фо> (24.12)
где Iz = х (к) vz, а возмущающая сила Ф0 дается формулой (9.16). Уравнение (24.12) от (9.47) отличается наличием первого члена.
Для решения .уравнения (24.12) рассмотрим изотропный проводник в виде плоскопараллельной пластины, ограниченной по оси z, толщиной d. Магнитное поле H направим по оси z, т., е.
282" перпендикулярно плоскости пленки. Удобнее писать векторное уравнение (24.12) в проекциях, учитывая, что Н(0, О, H) имеет всего одну компоненту. Тогда получим систему уравнений для Фа:
lzd<&Jdz + + Фж = Фох, lzd<t>y/dz — + Фу = Фоу, (24.13)
IzFbJdz + Фг = Ф0,,
где V = Qt = (еН/тс).х.
Решая эту систему с учетом граничных условий (24.11), можно найти Фа(г). Подставляя Фа(г) в (13.5) и "(13.6), найдем плотность тока и потока энергии ja (z) и wa(z). Затем необходимо усреднить эти токи по толщине пленки. Легко показать, что в рассматриваемой геометрии усреднение плотности тока и потока энергии сводится к усреднению функции Фа(г) по толщине.
Приведем окончательное, усредненное решение системы (24.13) с учетом граничных условий (24.11)
= 7Т-2 [(1 + ^1.2)Фох - (V + в1:2) Фоу), (24.14)
1 + V .
ф^ = -7-5 [(1 T Аиг) Фоу + (V T Bh2)Фох], (24.15)
1 + V
ф± = [1 +(Z^)Cp1,2(0)]Фог, (24.16)
где знаки ± относятся к электронам проводимости с кг > 0 и кг < 0, соответственно,
Ali2 = —ЦJ Ц- [(1 - V2) Re ф1>2 (V) - 2v Im Фі,2 (v)], (24.17)
1 + V а
Bll2 = —Ц \ [2v Re Фь2 (V) + (1 - V2) Im Фі,2 (v)], (24.18)
1 + V а
Sz = (d/lz) (1 - iv). (24.20)
Отметим, что решения (24.14) — (24.16) представляют собой компоненты обобщенной возмущающей силы с учетом поверхностного рассеяния її совпадают с (13.7)-(13.9) при d а также при P1 = р2 = 1.
Функции (24.14)-(24.16) совместное (24.10) и (24.6) представляют собой решение кинетического уравнения (24.2) в произвольном неквантующем магнитном поле, перпендикулярном плоскости пленки с произвольным изотропным законом дисперсии. В таком общем виде оно получено в работе [12]. Однако для пленки с одинаковыми поверхностями, при отсутствии градиента температуры кинетическое уравнение решено впервые Зондгей-мером [10].
283" 3. Общий вид тензоров проводимости в пленках. Используя решения (24.14) и (24.15) и (13.5) и (13.6), можно получить
Следующие Общие выражения для ТеНЗОрОВ проводимости Oik, ?ift
и Kih в пленке, входящих в уравнение переноса (13.10) и (13.11), = (24.21)
т l + va
?„ - - — (е - С) Vfe-* п \ 99.
Ptft-- У ч т i + v2 Uik (24.22)
^ = -T V^T(е Xs ^=1'2' (24-23)
где символ усреднения имеет смысл (13.21) и введены обозначения
d^ = 1 - І Г+72 Ki - v2)Re 7 - 2v Im I], (24.24)
D1, = 1 - + t2vRe/ + (1 - v2) Im/b (24-25)
/(p., Af „ = + M _n^
J 1 - P1PJ 2 * W3 у
(24.26)
s = o(l-iv), б = d/l, P = 42(pi + p2), x~l = cos 9, (24.27)
6 — угол между осью z и волновым вектором к электрона проводимости.
Выражения для тензоров проводимости (24.21) — (24.23) в общем случае в компактном виде получены в [12]. Позднее и в частном случае, когда отсутствует градиент температуры, аналогичные выражения получены в работе [47].
Следует отметить, что формулы (24.21) — (24.25) представляют собой обобщение (13.23)-(13.25) на случай, когда dZl имеет произвольное значение. Сравнение этих формул показывает, что они отличаются только наличием функций Dih, характеризующих влияние поверхностного рассеяния на кинетические эффекты. Функции D ih в свою очередь выражаются через единственный интеграл 1(ри />2, s). Таким образом, вся информация о роли поверхностного рассеяния содержится в функции I(pi, р2, s). Если поверхностное рассеяние отсутствует (^1 = ^2 = 1), то интеграл (24.26) обращается в нуль. Тогда, как видно из (24.24) и (24.25), ZJj4=I, и выражения тензоров проводимости (24.21) — (24.23) переходят в (13.23) — (13.25) для массивного образца. Отметим, что такой переход имеет место и при б = (d/l)->-
Следовательно, переход к массивному образцу можно осуществить двумя путями: либо в выражениях тензоров проводимости перейти к пределу при б = (d/l) ->- либо в этих выражениях положить Pi=Pi = 1. Первый путь понятен по своему смыслу,
284" что касается второго, то по определению pt = 1 соответствует зеркальному отражению электрона от данной поверхности kz —*— kZt т. е. при р = 1 отражение происходит без потери импульса, параллельно плоскости пленки, что равносильно отсутствию поверхностного рассеяния.
§ 25. Явления переноса в пленках с произвольным
изотропным законом дисперсии
Приведенные в предыдущем параграфе результаты для тензоров проводимости Ой, ?ift и Kih, с использованием определений (13.14) — (13.19), вполне достаточны для всестороннего рассмотрения всех основных кинетических- эффектов в пленках с изотропным законом дисперсии. Как было отмечено выше, параметры зеркальности поверхностей пленки Pi п рг, вообще говоря, являются произвольной функцией энергии электрона и угла падения электрона на поверхность. Для вычисления кинетических коэффициентов, которые выражаются через тензоры проводимости по формулам (13.14) — (13.19), нужно знать конкретный вид закона дисперсии г = г(к), явную зависимость т от к, а такя;е. явную зависимость pit 2 от є и 0, т. е. нужно исходить из' определенной модели. Рассмотрим некоторые частные модели, приведем кон» кретные результаты и отметим интересные особенности явлений переноса в пленках, связанные с поверхностным рассеянием.
