Физика твердого тела. Том 1 - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Однако эти выводы несправедливы, если время релаксации зависит от энергии. Например, если предположить, что электроны сталкиваются с неподвижными рассеивающими центрами, то тогда естественно считать, что длина свободного пробега не зависит от энергии, поэтому время релаксации оказывается зависящим от энергии: т = Slv ~ SlS112. Вскоре после того, как Друде предложил описывать металл моделью электронного газа, Лоренц воспользовался классическим распределением скоростей Максвелла — Больцмана и показал, что если время релаксации зависит от энергии, что это должно приводить к температурной зависимости статической и высокочастотной проводимостей, а также к отличному от нуля магнетосопротивлению и к коэффициенту Холла, который оказывается зависящим от поля и от температуры. Поскольку для металлов неприменимо классическое распределение по скоростям, ни одна из таких поправок, как и следовало ожидать, не смогла устранить глубокие расхождения между выводами модели Друде и экспериментальными фактами, относящимися к металлам *). Более того, как мы увидим ниже (см. гл. 13), при использовании правильного распределения по скоростям (т. е. распределения Ферми — Дира-
Однако модель Лоренца важна при описании полупроводников (см. гл. 29), Теория металлов Зоммерфельда
67
ка) учет зависимости времени релаксации от энергии не оказывает существенного влияния на большинство интересующих нас свойств металлов J). При расчете статической и высокочастотной проводимостей, магнетосопротивления и коэффициента Холла результаты, получаемые в предположении зависящего от энергии времени релаксации т (?), совпадают с результатами, полученными в предположении о т, не зависящем от энергии и равном т (tF). В металлах эти величины почти полностью определяются тем, как рассеиваются электроны находящиеся вблизи уровня Ферми 2). В этом состоит еще одно важное следствие принципа запрета Паули — соответствующее доказательство дано в гл. 13.
ЗАДАЧИ
1. Газ свободных и независимых электронов в случае двух измерений
а) Каково соотношение между п и kF в двумерном случае?
б) Каково соотношение между kF и rs в двумерном случае?
в) Докажите, что в двумерном случае плотность уровней свободных электронов g (%) имеет постоянное не зависящее от % значение при <g > О и равна нулю при % < 0. Каково это постоянное значение?
г) Покажите, что, поскольку плотность уровней g (%) постоянна, в разложении (2.75) обращаются в нуль все члены, кроме первого, соответствующего T = 0. Получите отсюда, что (X = %F при любой температуре.
д) Выведите из выражения (2.67), что при плотности уровней g (?-), найденной в п. «в», справедливо следующее соотношение:
+ + (2.95)
е) Исходя из соотношения (2.95), оцените, насколько |.i отличается от %s. Обсудите, сколь важна в численном отношении подобная и «ошибка» в разложении Зоммерфельда и какова математическая причина, прпиодяшая к этой «ошибке».
2. Термодинамика газа свободных и независимых ./лент роное
а) Используя термодинамические тождества
формулы (2.56) и (2.57), а также третий закон термодинамики (s -> 0 при T 0), покажите, что плотность энтропии S = S! V определяется выражением
s=-kB J [/In/ + (I-/) 1,,(1-/)], (2.97)
где / (% (к)) — функция Ферми (2.56).
б) Поскольку давление P удовлетворяет уравнению (Б.5) (см. приложение Б), т. е. P = — (и — Ts — (.in), выведите из формулы (2.97) следующее выражение:
p = + (2.98)
Исходя из выражения (2.98), покажите, что P является однородной функцией степени 5Z2 от ц и Т, т. е.
P (Яц, ЯТ) Я5/2 Т) (2.99)
для любого постоянного значения к.
в) Из термодинамических соотношении, приведенных в приложении Б, выведите следующие соотношения:
(4а- т.,- <*••«•>
1J Термо-э. д. с. представляет собой здесь важное исключение.
2) Подобные утверждения правильны с точностью до квТ1%Г, но в металлах этот пара-
метр всегда очень мал. •68
Глава 4
г) Дифференцируя соотношение (2.99) по X, покажите, что найденное для основного состояния соотношение (2.34) выполняется при любой температуре, если записать его в виде !)
P=-§-и. (2.101)
д) Покажите, что, если квТ %v, то для отношения удельных теплоемкостей при постоянном давлении и при постоянном объеме справедливо соотношение
(S-H-W)'+0^)4-
е) Сохраняя следующие члены в разложении Зоммерфельда для и и п, покажите, что с точностью до T3 для удельной теплоемкости Cv справедлива формула
= (2.102)
3. Классический предел статистики Фе рми — Ди рака
Если функция Ферми (2.56) гораздо меньше единицы для любого положительного значения %, то распределение Ферми—Дирака переходит в распределение Максвелла — Больцмана, поскольку в этом случае мы имеем
/ (?) « (2.103)
Необходимое и достаточное условие справедливости соотношения (2.103) при всех положительных % имеет вид
>1. (2.104)
а) Считая условие (2.104) выполненным, покажите, что
-V-/3hBT 1/3 Vefc ,,, , ™.-V2 /Q ,(АЕЛ
rs = e " 3 я h(lmkBT) . (Z.lUo)
В сочетании с (2.104) отсюда вытекает, что
\ 1/2
