Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
eff 4яе2 Г. , co2(q) 1 . — ^к< /ой ос;\
Выражение для vett обладает двумя важными качественными особенностями 2).
1. «Одетая» фононная частота co(q) равна по порядку величины со D или меньше этого значения. Поэтому, когда энергии двух электронов различаются гораздо сильнее, чем на Йсов, поправка за счет фононов к потенциалу эффективного взаимодействия пренебрежимо мала. Поскольку энергии электронов лежат в интервале от 0 до feF, а величина Шр обычно в 102—103 раз больше фононы оказывают существенное влияние лишь на взаимодействие электронов с очень близкими энергиями.
2. Однако в том случае, когда разность между энергиями электронов меньше величины /ш в, фононный вклад противоположен по знаку взаимодействию, экранированному только электронами, и больше по абсолютной величине; следовательно, эффективное электрон-электронное взаимодействие меняет знак. Подобный эффект, называемый «переэкранировкой», играет решающую роль в современной теории сверхпроводимости. Мы вернемся к нему в гл. 34.
ФОНОННЫЙ ВКЛАД В ЗАКОН ДИСПЕРСИИ ЭЛЕКТРОНОВ
Оставляя в стороне проблемы сверхпроводимости, где эффективное взаимодействие (26.25) играет столь существенную роль, обсудим сейчас другие, менее впечатляющие свойства электронов проводимости, в которых оно проявляется. В гл. 17 мы отмечали, что простейшей поправкой к электронной энергии <fk, учитывающей электрон-электронное взаимодействие, служит обменный член теории Хартри — Фока:
^-\ш\^Нк,)- (26-26)
Было обнаружено, что эта поправка ведет к ложной особенности в величине дШ/дк при к = кр, которая исчезает после учета экранировки, для чего потенциал взаимодействия в (26.26) необходимо поделить на электронную диэлектрическую проницаемость. При более строгом рассмотрении экранировку следует
г) Это выражение было получено в работах Фрёлиха [4], а также Бардина и Пайнса [5]. Приведенные рассуждения следует рассматривать скорее как свидетельство правдоподобия выражения (26.25), а не как его строгий вывод. Систематический вывод этого выражения, а также определение условий, при которых оно реально описывает эффективное взаимодействие, требуют использования методов теории поля (функций Грина).
2) Выражение (26.25) обращается в нуль при со = 0, однако к этому не следует относиться серьезно. Равенство нулю величины означало бы, что при очень медленно меняющихся возмущениях ионы успевают перестраиваться таким образом, чтобы полностью компенсировать поле электронов. Такого явления не наблюдается хотя бы потому, что электроны представляют собой точечные частицы, а ионы имеют непроницаемую сердцевину. Мы пренебрегали этим обстоятельством при определении «голой» ионной диэлектрической проницаемости, в которой учитывалось лишь кулоновское взаимодействие между ионами. Более точные расчеты, принимающие во внимание эффекты конечного размера ионов, устраняют возможность указанной полной компенсации.
146
Глава 26
описывать не одной лишь электронной диэлектрической проницаемостью, а полной диэлектрической проницаемостью металла. С учетом формулы (26.25) это означает, что благодаря экранировке обменный член Хартри — Фока принимает вид
д«. _ С __4ле2 (А ,__со2 (к—к')_1 ,,,,, /ог 97\
Лбк- ] 12^|к-к'|2 + ^о Г+ [(«к-«к,)Д]2-со2(к-к')] /МК >¦
Так как ионный вклад в экранировку зависит от энергии электрона, это довольно сложное интегральное уравнение для Шк- Однако, воспользовавшись тем, что энергия фонона Н<л (к — к') очень мала по сравнению с Ъ р, наиболее важную информацию удается получить из уравнения (26.27), не решая полного интегрального уравнения (см. задачу 3). Наиболее важные выводы таковы.
1. Значение 1Р и форма поверхности Ферми не испытывает изменений при учете ионной поправки к экранировке, т. е. при их точном определении можно отбросить второе слагаемое в фигурных скобках в (26.27).
2. Когда разность Шк — Шр порядка /1со д и меньше, справедливо равенство
3*-^ = ^Т5Г' (26-28>
где — энергия, рассчитываемая без учета ионного вклада в экранирование, а величина К дается интегралом по поверхности Ферми:
Л = 1 8язйу (к') (к—к')2 + ^' (26.29)
В частности, отсюда следует, что из-за наличия фононов скорость электронов и плотность уровней на поверхности Ферми становятся равными 1):
уМ = -ТЖ=ШХ°{к)* (26.30)
*(М = (1 + Ь) *°
Полученные поправки относятся лишь к одноэлектронным энергетическим уровням, лежащим вблизи Щр в узком интервале (уже Йсод). Однако при температурах намного ниже комнатной (квТ <^ /гсо п) именно эти электронные уровни в основном определяют свойства металла, поэтому поправки, связанные с ионной экранировкой, следует принимать во внимание. Особенно ясно это видно, если произвести оценку величины "к.
Поскольку к0 порядка кр [см. (17.55)], имеем
Однако из (17.50) и (8.63) следует 4яе2 дп 1
Поэтому значение X, получаемое в этой простой модели, немного меньше единицы. В результате во многих металлах поправка из-за ионной экранировки электрон-электронного взаимодействия (обычно .называемая «фононной поправкой» ) служит основной причиной отклонения плотности уровней от ее значения
