Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
ют собой лишь малые поправки к основному экспоненциальному поведению, качественный вид которого непосредственно определяется «вымерзанием» про-цессов переброса.
.Когда температура достигает точки, где начинается экспоненциальный рост теплопроводности, последняя столь быстро возрастает с уменьшением температуры, что длина свободного пробега фонона вскоре становится сравнимой со средней длиной свободного пробега при рассеянии фононов на дефектах решетки и примесях или даже с длиной свободного пробега, характеризующей рассеяние фононов поверхностью конечного образца. Когда это происходит,
Ангармонические эффекты в кристаллах
длина свободного пробега в формуле (25.31) перестает быть величиной, определяемой только ангармоническими членами, и ее следует заменить температур-но-независимой длиной пробега, определяемой пространственным распределением дефектов или же размерами г) образца. Для температурной зависимости теплопроводности начинает выполняться тогда тот же закон, что и для теплоемкости, которая спадает пропорционально Г3 при температурах гораздо ниже 6 д 2).
Итак, поведение теплопроводности во всем диапазоне температур должно быть следующим. При очень низких температурах теплопроводность будет ограничиваться температурно-независимыми процессами рассеяния, определяемыми геометрией образца и чистотой вещества, из которого он изготовлен. Поэтому она будет расти пропорционально Т3 так же, как удельная теплоемкость. Рост продолжается до тех пор, пока не будет достигнута температура, при которой процессы переброса становятся столь частыми, что длина свободного пробега оказывается меньше не зависящей от температуры длины свободного, пробега. В этой точке теплопроводность достигает максимума, а затем начинает очень быстро падать за счет множителя ет^т, отражающего экспоненциальное возрастание частоты процессов переброса с повышением температуры. Уменьшение продолжается до температур гораздо выше в л, но резкое экспоненциальное падение скоро заменяется медленным степенным убыванием — просто из-за того, что при высоких температурах велико число фононов, способных принять участие в процессе рассеяния (с перебросом).
На фиг. 25.5 показаны типичные экспериментальные кривые температурной зависимости теплопроводности, иллюстрирующие наши общие выводы.
второй звук
Как мы уже имели случай заметить, существует аналогия между фононами в диэлектрике и молекулами в обычном классическом газе. Подобно молекулам газа, фононы могут обмениваться энергией и (квази)импульсом при столкновениях, а также переносить тепловую энергию от одной области к другой. Однако в отличие от молекул газа число фононов может не сохраняться в каждом отдельном столкновении или на поверхностях «резервуара», в котором они содержатся (в случае фононов таким «резервуаром» служит сам кристалл). Наконец, хотя при столкновениях между молекулами в газе импульс всегда сохраняется, квазиимпульс фононов сохраняется только в нормальных столкновениях, а поэтому сохранение квазиимпульса есть хороший закон сохранения, лишь пока температура достаточно низка, чтобы «вымерзли» процессы переброса. Сопоставление свойств классического и фононного газа дано в табл. 25.3.
Одно из наиболее поразительных явлений, наблюдаемых в обычном газе,— это звук, т. е. волновое колебательное возмущение локальной плотности молекул. Согласно элементарной кинетической теории, звук может распространяться в газе, когда выполняются следующие условия.
а) При столкновениях между молекулами сохраняются их число, энергия и импульс.
*) Этот режим называют пределом Казимира [7]. (Длина свободного пробега фонона, обусловленная рассеянием на дефектах, зависит от его квазиимпульса, а поэтому средняя длина свободного пробега фононов зависит от температуры; см. книгу Займана [6].— Прим. ред.)
?) Насколько полученный результат зависит от кристаллического строения, видно ив экспериментов со стеклами и другими аморфными материалами, где при Г< 1 К тепло-проводност- нарастает примерно как Г2. См. работу Зеллера и Пола [8].
134
Глава 25
Таблица 25.3
Сравнение классического газа и газа фононов
Классический гаа молекул Газ фононов
Резервуар Сосуд с непроницаемыми стенками Кристалл — среда, в которой существуют фононы
Столкновения Молекулы сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда Фононы сталкиваются друг с другом," с поверхностью кристалла и с примесями
Энергия сохраняется в столкновениях Да Да
(Квази) импульс сохраняется в столкновениях Да (кроме столкновений со стенками) Да (кроме столкновений ^поверхностью и примесями), при выполнении условия Т С 6д, необходимого для «вымерзания» процессов переброса
Чжсло частиц сохраняется в столкновениях Да Нет
б) Частота столкновений 1/т велика по сравнению с частотой звуковой волны V = ю/2я:
со < 1/т. (25.41)
В силу условия «б» столкновения происходят настолько быстро, что в каждый момент времени возникает локальное состояние термодинамического равновесия, в котором мгновенные локальные плотность, давление и температура связаны между собой равновесным уравнением состояния однородного газа. Законы сохранения (условие «а») существенны для установления такого равновесия. Особенно важен закон сохранения импульса, так как требуется, чтобы мгновенное локальное равновесное распределение имело отличный от нуля суммарный импульс (иногда при этом говорят о «локальном равновесии в движущейся системе отсчета»), без чего осцилляции не могли бы распространяться.
