Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
1) В терминах поляризуемостей, определяемых как а = (в — 1)/4я, мы имеем здесь частный случай утверждения, что поляризуемость среды, образованной несколькими типами носителей заряда, равна сумме поляризуемостей для отдельных типов носителей.
8 = 8«+ 8^-1.
Фононы в металлах
143
Поэтому отклик металла на потенциал еЬех1 можно рассматривать как отклик системы «одетых» ионов на потенциал (1/ее1) ^ех* ; следовательно, мы имеем
Ф
total
„ion .
8dressed в
кФ
ezt
(26.15)
Сравнивая этот результат с определением в (26.10)» находим
1 1 1
е .ion „el •
^dressed
(26.16)
Этим выражением^необходимо пользоваться вместо выражения (26.14), когда мы хотим при описании использовать представление об «одетых», а не о «голых» ионах. Разумеется, обе формулировки должны быть эквивалентны. Записывая (26.14) в виде
Т= е« 1-^1-1)/^ ' (26Л7)
мы видим, что для соответствия с формулой (26.16) должно выполняться соотношение ')
fon ^dressed
= 1 + -^(ЄьЇЇє — 1).
(26.18)
Чтобы провести грубую количественную оценку ионного вклада в диэлектрическую проницаемость, обратимся к простейшим выражениям для величин ее1 и еь^е- Для первой из них воспользуемся результатом Томаса — Ферми (26.4) 2). Для второй можно просто взять выражение (1.37) для диэлектрической проницаемости газа заряженных частиц, заменив в нем электронную плазменную частоту (26.1) соответствующей ионной частотой (26.2) 3). Тогда после подстановки
ion єЬаге!
.1-
(26.19)
полная диэлектрическая проницаемость (26.14) приобретает вид
g2 w2 »
(26.20)
') В терминах поляризуемостей ото соотношение выглядит вполне разумно:
„1011
ion "bare
dresse4 »1 e
2) Пользуясь статической диэлектрической проницаемостью для электронов, мы ограничиваем наше рассмотрение возмущениями с волноеыми векторами q, частоты которых настолько малы, что выполняется условие со ^ 1"f-
•) Формула (26.19) [как и (1.37), из которой она была получена] не учитывает зависимости от волнового вектора q. Это справедливо, если характерное расстояние, проходимое частицей за период внешнего возмущения, мало по сравнению с длиной волны возмущения: via Э> 1/9 или <*> Э> Поскольку типичная скорость ионов гораздо меньше yF, существует большая область частот и волновых векторов, в которой можно одновременно пользоваться приближением 8 (q, со) «'e (q, со = 0) для электронов (ср. предыдущее примечание) и приближением е (q, со) fa е (q = 0, со) для «голых» ионов.
144
Глава 26
а диэлектрическая проницаемость (26.18) «одетых» ионов запишется следующим образом:
ь(1Ге35е(1 - * '
<оа(д)
гп2 »
(26.21)
Мы воспользовались соотношением (26.3), учитывающим экранировку, введя «одетую» фононную частоту со (ц). Заметим, что выражение для е^еззеа имеет такой же вид, как и выражение для г^е, если заменить «голую» фононную частоту Qp «одетой».
Подставляя (26.21) в выражение (26.16) для полной диэлектрической проницаемости, получаем
е ( 1 + /с§/д2 ) (ш2 —ф2(ч) ) •
(26.22)
Эта формула, конечно, эквивалентна формуле (26.20).
Наиболее важную роль формула (26.22) играет при анализе эффективного электрон-электронного взаимодействия в металлах. Поэтому мы перейдем теперь к обсуждению этого вопроса.
эффективное электрон-электронное взаимодействие
В гл. 17 отмечалось, что во многих задачах следует принимать во внимание экранировку электрон-электронного кулоновского взаимодействия и для этого необходимо поделить фурье-образ потенциала взаимодействия на электронную диэлектрическую проницаемость:
4лв* = , (26.23)
к2 кЧ<Я к2 + Щ
учитывая тем самым экранировку взаимодействия между данной парой, обусловленную остальными электронами. Однако ионы также экранируют взаимодействие, поэтому нам следовало бы взять не величину ее1, а полную диэлектрическую проницаемость. Пользуясь выражением (26.22), находим, что вместо (26.23) должно тогда выполняться соотношение
4яе2 4яе2 4яе* /. , со8 (к)
'те2 4я** /, со2 (к) ч /26 24)
~кЧ ~ 1*+Т8 I1 + со2-со2 (к) )¦
Таким образом, ионы приводят к появлению поправочного множителя к величине (26.23), зависящего не только от волнового вектора, но и от частоты. Зависимость от частоты отражает тот факт, что экранирующее действие ионов осуществляется не мгновенно, а ограничено по времени скоростью распростра-нения'упругих волн в решетке (которая мала по сравнению с vF). В результате та часть эффективного электрон-электронного взаимодействия, за котору ответственны ионы, оказывается запаздывающей.
Пользуясь выражением (26.24) в качестве потенциала эффективного взаимодействия между парой электронов, следует располагать информацией о том, как'со|и к зависят от квантовых чисел пары. Из анализа, проведенного в гл. 17, мы знаем, что, когда потенциал эффективного взаимодействия берется в не зависящем от частоты виде (26.23), величину к необходимо считать равной разности волновых векторов двух электронных уровней. По аналогии, когда
Фононы в металлах
145
потенциал эффективного взаимодействия зависит от частоты, мы должны считать частоту со равной разности частот (т. е. энергий, поделенных на К), отвечающих этим уровням. Таким образом, будем считать, что эффективное взаимодействие двух электронов с волновыми векторами к и к' и энергиями и eft-описывается следующим выражением 1):
