Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
еКЖ• я°а1е-'ж¦ к° 1 {гск8}) = ехр ( -1 3к'як«,• В„) е^-я'а1 \ {пке}}, (Н. 13)
к' ъ
которое просто вытекает из определения (Н.8). Поскольку состояние ака \{пка}) отличается от | {пка}) только увеличением на единицу числа заполнения для моды кя, оно также будет собственным состоянием оператора УС с собственным значением 2к'гск<8 + к. Таким образом, каждый член в выражении для собственного значения оператора е1^'К°ака сокращается с соответствующим членом выражения для собственного значения оператора е~1^'п°, за исключением единственного дополнительного члена е*к'Ко, и мы имеем
ех? (-^к'п^е.Ко) е^-*°а1в \{71к8}) = е1к'я°акв \{пк,}). (Н.14)
к^
Равенства (Н.14) и (Н.13) доказывают справедливость равенства (Н.12), следовательно, оператор еЖ" осуществляет необходимое преобразование. Оператор %&С называется оператором квазиимпульса.
ПРИМЕНЕНИЯ
Проиллюстрируем на нескольких примерах действие закона сохранения квазиимпульса.
1.Изолированный диэлектрик. Если имеются только ионы, то из инвариантности относительно преобразования (Н.З) следует, что гамильтониан коммутирует с оператором е^'л°, так как
е*Ж¦ п.н ({и Р е-Ю-ко = н (|„ (к _Ко) р (к _Ко)}) _ я> (Н 15)
или
Это означает, что оператор ДНо = ег<^-Но является интегралом движения, т. е. если кристалл в момент времени г = О описывается собственным состоянием
H. Сохранение квазиимпульса
379
оператора) ^r0, то он остается в этом состоянии во все последующие моменты времени. В частности, предположим, что при t = О кристалл описывается собственным состоянием гармонического гамильтониана с фононными числами заполнения пьй. Поскольку полный гамильтониан не является гармоническим, это состояние не будет стационарным. Однако, согласно закону сохранения квазиимпульса, оно должно оставаться собственным состоянием оператора Jn0 для всех векторов трансляции решетки Бравэ R0. Это означает, что во все последующие моменты времени состояние может представлять собой только линейную комбинацию собственных состояний гармонического гамильтониана с фононными числами заполнения тгк8, причем собственное значение оператора Jr0 должно быть таким же, как и в начальном состоянии:
exp U Tj kn.kj.Roj = ехр (i 2 knk,-R0). (H.16)
Поскольку это равенство должно выполняться при произвольных векторах трансляции решетки Бравэ R0 (операторы JRo , отвечающие разным векторам R0, коммутируют между собой), получаем
exp {i [У] (knks— knks)-R0]} = 1 для всех Rc; (Н.17)
откуда следует, что
kttts = 2 kttks 4- вектор обратной решетки. (Н.18)
Следовательно, в ангармоническом кристалле суммарный волновой вектор фоно-нов сохраняется с точностью до аддитивной постоянной, равной вектору обратной решетки.
2. Рассеяние нейтронов в диэлектрике. Предположим, что в начале эксперимента кристалл описывается собственным состоянием гармонического гамильтониана с фононными числами заполнения nks, а нейтрон находится в состоянии с действительным значением импульса р, которое удовлетворяет равенству
rRo^(r) = e<i/K)P-Ro\))(r) (т. е. \))(r) = e(i/'')P-R»), (H.19)
где Jr0 — оператор трансляции нейтрона. Инвариантность полного нейтрон-ионного гамильтониана относительно преобразования (Н.З) приводит к тому, что произведение операторов перемещения нейтрона и перестановки ионов коммутирует с H при любом R0:
[7V7r„,#] = 0. (Н.20)
В начальном состоянии Ф имеем
Тя.УЛоФ = exp [i (р/Й + S knks) -R0] Ф, (Н.21)
поэтому все последующие состояния должны оставаться собственными состояниями с тем же самым собственным значением. Следовательно, их можно представить в виде линейных комбинаций состояний, в которых нейтрон обладает импульсом р', а фононные числа заполнения в кристалле равны пуц- При этом должно выполняться условие
р' + % У] k«k, = р + % 2 кпк, + h х вектор обратной решетки. (Н.22)
Таким образом, изменение импульса нейтрона должно быть скомпенсировано изменением квазиимпульса 1) фононов с точностью до аддитивной постоянной, равной вектору обратной решетки, умноженному на h.
г) Собственное значение te2knts оператора квазиимпульса 1гЖ называется квазиимпульсом (см. стр. 99).
380
Приложения
3. Иаолированный металл. Если частицы представляют собой электроны проводимости, то при ?=0 мы можем рассмотреть состояние, в котором электроны описываются определенным набором блоховских уровней. В таком случае каждый блоховский уровень [см. (8.21)] является собственным состоянием оператора перемещения электрона, т. е.
Если, помимо этого, при t = 0 кристалл описывается собственным состоянием гармонического гамильтониана, то оператор Тщ.Ук0, отвечающий как перемещению электронов, так и перестановке ионов, будет иметь собственное значение
где ке — сумма волновых векторов электронов на всех занятых блоховских уровнях (т. е. Ш.е — полный квазиимпульс электронов). Поскольку этот оператор коммутирует с электрон-ионным гамильтонианом, металл остается в начальном состоянии во все последующие моменты времени. Следовательно, изменение полного квазиимпулъса электронов должно компенсироваться изменением полного квазиимпулъса ионов с точностью до аддитивной постоянной, равной вектору обратной решетки, умноженному на Н.
