Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
гг -^гг + В.0, 1 = 1,..., п, (Н.З)
и (К) ->и (И -!*„), Р (И) -+Р (Л - 110) для всех В.,
в чем можно убедиться с помощью прямой подстановки в (Н.1).
Чтобы подчеркнуть разницу между симметрией (Н.2) (с г0 = И0) и симметрией (Н.З), рассмотрим члены следующих двух типов, которые могли бы нарушить симметрию гамильтониана (Н.1):
1. Мы могли бы добавить член
который привязывает каждый ион к его положению равновесия с помощью гармонической пружины. Этот член нарушает трансляционную симметрию (Н.2) гамильтониана, и в его присутствии импульс не сохраняется. Однако член (Н.4) инвариантен относительно перестановочного преобразования (Н.З), поэтому его добавление не приведет к нарушению закона сохранения квазиимпульса.
2. С другой стороны, предположим, что мы изменяем гамильтониан (Н.1) таким образом, чтобы сохранить трансляционную симметрию, но нарушить перестановочную симметрию. Мы могли бы, например, считать, что все ионы имеют различные массы, и заменить член, отвечающий кинетической энергии ионов, выражением
Получившийся гамильтониан остается инвариантным относительно пространственных перемещений (Н.2), так что полный импульс будет сохраняться. Однако этот гамильтониан не остается инвариантным относительно перестановки (Н.З) и кдазиимпульс сохраняться не будет.
Если сравнить два упомянутых закона сохранения, то закон сохранения квазиимпульса значительно более важен. Кристалл как целое практически не может испытывать отдачу, а если бы и мог, то мизерное изменение полного импульса кристалла, обусловленное рассеянием одного-единственного нейтрона, не было бы доступно для прямого измерения.
ВЫВОД ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ
Чтобы вывести закон сохранения, обусловленный симметрией (Н.З), мы должны рассмотреть квантовомеханические операторы, осуществляющие соответствующее преобразование. Та часть преобразования, которая действует
H. Сохранение квазиимнульса
377
на координаты частиц, гг ->-гг -f- R0, осуществляется оператором сдвига TR0, (гл. 8). Согласно фундаментальному квантовомеханическому результату, это преобразование может быть записано с помощью унитарного преобразования, зависящего от оператора полного импульса частиц 1):
Гі->Гі + К0 = Гн.ГгГн01 =e(l/ft)P-R.r.e-(i/f.)P-Ro, (Н.6)
П
р= 2 р..
Кроме того, нам потребуется оператор, осуществляющий преобразование ионных переменных (Н.З). Закон сохранения квазиимпульса приобретает простой вид в первую очередь потому, что это преобразование имеет структуру, очень напоминающую (Н.6):
u (R) -> u (R -R„) = JRou (R) Jn! = е1^-R°u (R) <Г*^
Р (R) ->¦ Р (R - В0) = Jr0P (В) Jr! = еІЖ • R°P (R) е~ш' 'R°.
Оператор Ж никоим образом не связан с оператором суммарного импульса ионов Р = 2Р (R), а определяется 2) как оператор, имеющий те же собственные состояния, что и гармоническая часть ионного гамильтониана. При этом его собственное значение в состоянии с фононными числами заполнения задается формулой
Ж I {»*.}> = ( 2 knk,) | Ks}>- (Н.8)
ks
Чтобы убедиться, что оператор Ж, определяемый формулой (Н.8), действительно осуществляет преобразование (Н.7), нужно воспользоваться соотношением (М.14), выражающим операторы u (R) и Р (R) через операторы рождения и уничтожения для каждой нормальной моды колебаний:
u (R) = w 2 Y 2ЖЛЪ7 <вк« + ^eik-Re* <к)- (Н"9)
[Мы рассматриваем явно только u (R). Для Р (R) рассмотрение оказывается в сущности таким же.] Поскольку в формулу (Н.9) входят только операторы aks и aits, получаем
= T7^ 2 УГ 2mL (k) ^'R°ak°e"^''R° + е™''*')eik'H«» W• (Н.Ю)
Следовательно, мы сможем считать доказанным равенство (Н.7), если сумеем убедиться в том, что
е*Ж'*'аи,е-*Ж-*' = e-ik-R«-a'Lk„ (Н.11)
г) См., например, книгу [1].
2) Оператор определяется заданием полной системы собственных состояний и соответствующих им собственных значений, поскольку любое состояние можно представить в виде линейной комбинации собственных состояний. Отметим, что здесь в скрытом виде присутствует допущение о том, что твердое тело действительно является кристаллом с решеткой Бравэ { В.}. Если бы это было не так, то его состояния нельзя было бы представить в виде линейной комбинации собственных состояний гармонического кристалла с решеткой Бравэ {В.}.
.378
Приложения
так как подстановка (Н.Н) в (Н.10) вновь приводит (Н.10) к виду (Н.9), где теперь вектор В. уже заменен на вектор В. — Ид.
Оба результата (Н.11) будут доказаны, если мы сумеем убедиться в справедливости одного равенства
е^'к,а^"^'Нл = е1к-к'45, (Н.12)
поскольку первое из равенств (Н.Н) является эрмитово сопряженным равенству (Н.12), а второе следует из него при замене к —к. Равенство (Н.12) будет доказано, если мы сможем убедиться в том, что операторы в обеих частях равенства одинаково действуют на полную систему состояний, так как они будут аналогичным образом действовать на любую линейную комбинацию состояний из этой системы, а следовательно, и вообще на любое состояние. Снова выберем в качестве полного набора состояний собственные состояния гармонического гамильтониана. Оператор акз, будучи оператором рождения для нормальной колебательной моды кх, действует просто на состояние с определенным набором фононных чисел заполнения, приводя к образованию состояния, совпадающего (с точностью до нормировочной постоянной) с состоянием, в котором число заполнения для нормальной моды кя оказывается на единицу большим, а все другие числа заполнения остаются прежними. Для начала мы можем записать равенство
