Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
Wir^i, rjvSjv) = ^ (r.sj, r2s2) ... ^(rjv-jSjv.!, rNsN). (34.11)
Эта волновая функция описывает состояние, в котором все электроны связаны в пары, т. е. образуют совокупность тождественных двухэлектронных состояний. Однако она не обладает симметрией требуемой принципом Паули. Чтобы построить состояние, которое меняет знак при перестановке пространственных и спиновых координат любых двух электронов, нам необходимо антисимметризовать состояние (34.11). Это приводит к основному состоянию
в теории БКШ 2):
Ybcs = (34.12)
Может показаться удивительным, что состояние (34.12) удовлетворяет принципу Паули, хотя все входящие в него парные волновые функции ф идентичны. Действительно, если бы мы построили состояние, аналогичное (34.11), как произведение N идентичных одноэлектронных уровней, то оно после антисимметризации обратилось бы в нуль. Фундаментальное требование антисимметрии означает, что ни один из одноэлектронных уровней не может быть двукратно занятым, если состояние построено из антисимметризованных произведений одноэлектронных уровней. Однако требование антисимметрии не приводит к соответствующему ограничению на заполнение двухэлектронных уровней в состояниях, которые являются антисимметризованными произведениями двухэлектронных уровней 3).
Можно показать, что если состояние (34.12) взять в качестве пробного для оценки энергии основного состояния с помощью вариационного принципа, то при сколь угодно слабом притяжении между электронами оптимальный выбор ф должен привести к меньшей энергии, чем выбранные наилучшим образом слэтеровские детерминанты (т. е. наилучшие пробные функции в приближении независимых электронов).
х) Для макроскопической системы лишний электрон (если N нечетно) не играет роли.
2) Действие оператора антисимметризации <Ж сводится к тому, что к функции, на которую он действует, просто добавляется N1 — 1 других функций, получаемых с помощью всех возможных перестановок аргументов, причем эти функции умножаются на +1 или —1 в зависимости от того, является ли данная перестановка результатом четного или нечетного числа парных перестановок.
3) Именно поэтому пара фермионов может вести себя с точки зрения статистики как бозон. Действительно, если бы энергия связи каждой пары была бы столь велика, что размеры пары оказались бы меньше среднего расстояния между частицами г8, то в основном состоянии имелось бы N12 бозонов, сконденсированных на одном и том же двухэлектронном уровне. Однако, как мы увидим ниже, размеры куперовской пары велики по сравнению с гв, и было бы неправильным рассматривать куперовские пары как независимые бозоны.
356
Глава 34
В теории БКШ парные волновые функции ф считаются синглетными *), т. е. электроны в паре имеют противоположные спины, а орбитальная часть волновой функции <р (г, г') симметрична. Если считать состояние пары трансля-ционно-инвариантным (пренебрегая возможными усложнениями, обусловленными периодическим потенциалом решетки), т. е. принять, что ф (г, г') имеет вид % (г — г'), то можно записать
Х(г-г') = ±2 Х^к-Ге-*-''- (34.13)
к
Следовательно, % можно рассматривать как суперпозицию произведений одно-электронных уровней, в каждом слагаемом которой электроны с одинаковыми, но противоположно направленными спинами спарены 2).
Один из результатов вариационного расчета Ч'всэ заключается в том, что характерный пространственный размер ?0 волновой функции пары 3) очень велик по сравнению с расстоянием г3 между электронами. Грубую оценку величины |0 можно провести следующим образом. Парная волновая функция Ф (г), по-видимому, представляет собой суперпозицию одноэлектронных уровней с энергиями, лежащими в области порядка Д вблизи ? р, поскольку, как показывают туннельные эксперименты, вне этой области энергий плотность одноэлектронных уровней имеет почти такой же вид, как и в нормальном металле. Поэтому разброс импульсов одноэлектронных уровней, участвующих в образовании пар, задается условием
д=в»=в(-?Н^)вР*1,,вР. (34Л4)
Таким образом, характерный пространственный размер функции ф (г) имеет следующий порядок величины:
Поскольку величина Ш Р обычно в 103—104 раз превышает Д , а кР имеет порядок
108 см-1, типичное значение ?0 равно 103 А.
Следовательно, внутри области, занимаемой любой парой, окажутся центры многих (миллионов или даже более) пар. Эта черта сверхпроводящего состояния крайне важна. Пары нельзя представлять в виде независимых частиц,— они замысловатым образом переплетены в пространстве, что весьма существенно для стабильности состояния.
х) Если бы парные состояния были триплетными (спин 1), то это привело бы к наличию характерных магнитных свойств, которые в действительности не наблюдаются. Однако три-плетное спаривание наблюдалось в жидком гелии-3 — вырожденной ферми-жидкости, которая во многих отношениях напоминает электронный газ в металлах. См., например, [18].
2) Это свойство основного состояния часто подчеркивают, и делается утверждение, что электроны с противоположно направленными спинами и волновыми векторами связываются в пары. Это утверждение не более (и не менее) строгое, чем то, согласно которому в любом трансляционно-инвариантном связанном состоянии двух тождественных частиц эти частицы имеют равные по величине и противоположно направленные импульсы; в последнем утверждении делается правильный акцент на том факте, что полный импульс связанной пары равен нулю, но отвлекается внимание от другого факта, что это состояние является суперпозицией подобных пар, поэтому локализовано в пространстве относительных координат (в отличие от отдельного произведения плоских волн).
