Физика твердого тела - Ашкрофт Н.
Скачать (прямая ссылка):
3) Находя ширину запрещенной зоны таким образом, нужно, однако, помнить, что при комнатной температуре у большинства полупроводников величина линейно изменяется с температурой. Если Ее = Е0 — АТ, то наклон кривой равен не Ей, а Е0, т. е. величине, получающейся при линейной экстраполяции данных о ширине запрещенной зоны при комнатной температуре к абсолютному нулю (фиг. 28.3). Значения Е„, полученные с помощью такой процедуры линейной экстраполяпии, также приведены в табл. 28.1.
Однородные полупроводники
191
вать квадратичными формами, к которым они сводятся вблизи указанных экстремумов1'
8(к) =
= §с +
2
2 К (М'1)^ К (электроны), ё(к) = ?„ — 2 ^ (М_1)цг й\і (дырки).
(28.2)
Фиг. 28.5. Поверхности постоянной энергии вблизи минимумов зоны проводимости в кремнии.
Имеются шесть симметрично расположенных эллипсоидальных карманов. Длинные оси эллипсов имеют направления (100).
Здесь Шс — значение энергии, отвечающее дну зоны проводимости, и 1„ —энергия, соответствующая потолку валентной зоны, а за начало координат в /«-пространстве выбрано положение максимума или минимум зоны. Если имеется более одного максимума или минимума, то каждому из них соответствует подобное выражение. Поскольку тензор М-1 действителен и симметричен, для каждой такой точки можно найти систему ортогональных главных осей, в которой выражения для энергии имеют диаго-
нальную форму: ?(к) = ?с +
+ И-Д—ь
?(к)=?„-
2т,
| (электроны)
— №
(
2т1
2т,
2т,
)
(дырки). (28.3)
Таким образом, поверхности постоянной энергии вблизи экстремумов имеют форму эллипсоидов, и обычно их определяют, указывая направления главных осей эллипсоидов, значения трех «эффективных масс» и положение эллипсоидов в /«-пространстве. Рассмотрим несколько важных примеров.
Кремнии. Кристалл имеет структуру алмаза, поэтому первая зона Брил-люэна представляет собой усеченный октаэдр, отвечающий гранецентрированной
х) Матрица, обратная той, которую образуют коэффициенты в (28.2), обозначена через М, поскольку она представляет собой частный случай тензора эффективной массы, введенного в общем виде вт. 1 на стр. 332. Тензор эффективной массы электронов не будет, конечно, совпадать с тензором эффективной массы дырок, но, чтобы избежать большого числа индексов, мы будем обозначать их одним общим символом М.
Фиг. 28.6. Энергетические зоны в кремнии. (Из работы [4].)
Обратите внимание на минимум зоны проводимости на оси [100], который отвечает эллипсоидам на фиг. 28.5. Максимум валентной зоны лежит в точке к = 0, где касаются две зоны с разными значениями кривизны; эти зоны соответствуют «тяжелым дыркам» и «легким дыркам». Отметим также наличие третьей зоны, находящейся на 0,044 эВ ниже максимума валентной зоны. Эта зона не совпадает с двумя другими только из-за наличия спин-орби-тального взаимодействия. При температурах порядка комнатной (йд Т — 0,025эВ) она также
может давать существенный вклад в концентрацию носителей.
192
Глава 28
Фиг. 28.7. Поверхности постоянной энергии вблизи минимумов зоны проводимости в германии.
Имеется восемь обусловленных симметрией половинок эллипсоидов с длинными осями, параллельными направлениям < 111) и с центрами в серединах шестиугольных граней зоны. При подходящем выборе элементарной ячейки в й-пространстве они могут быть представлены как четыре эллипсоида: половинки одного эллипсоида на противоположных гранях можно соединить, если произвести трансляцию на соответствующий вектор обратной решетки,
Фиг. 28.8. Энергетические зоны в германии. (Из работы [6].)
Обратите внимание на минимум зоны проводимости на оси [111]. В точке пересечения с границей зоны Бриллюэна он отвечает четырем эллипсоидальным карманам на фиг. 28.7. Максимум валентной зоны, как и в кремнии, находится в точке к = О, где касаются две вырожденные зоны с разными значениями кривизны. Эти зоны соответствуют двум дырочным карманам с четко отличающимися эффективными массами.
кубической решетке Бравэ. В соответствии с симметрией системы зона проводимости имеет шесть минимумов, которые расположены в точках, лежащих на направлениях (100), на расстоянии, составляющем примерно 80 % до границы зоны (фиг. 28.5). В силу симметрии каждый из эллипсоидов должен представлять собой эллипсоид вращения, ось которого совпадает с кубической осью. Они имеют форму сигар, вытянутых вдоль кубической оси. Эффективная масса, выраженная через массу свободного электрона та, имеет вдоль оси величину mL ^ 1.0 тп (продольная эффективная масса), а перпендикулярно оси составляет тпт ж 0,2 m (поперечная эффективная масса). Имеются два вырожденных максимума в валентной зоне, расположенных в точке к = 0; вблизи них изо-энергетические поверхности сферически-симметричны, пока квадратичное разложение остается справедливым, а соответствующие массы равны 0,49т и 0,16 m (фиг. 28.6).
Германий. Кристаллическая структура и зона Бриллюэна такие же, как у кремния. Однако в этом случае минимумы зоны проводимости лежат на границе зоны Бриллюэна в точках пересечения последней с направлениями (111). Минимумы на параллельных друг ДРУГУ шестиугольных гранях зоны Бриллюэна отвечают физически эквивалентным уровням, поэтому существуют четыре минимума зоны проводимости, обусловленные симметрией системы. Поверхности постоянной энергии представляют собой эллипсоиды вращения, вытянутые вдоль направлений (111); эффективные массы имеют следующую величину: mL « 1,6m и mT w 0,08т (фиг. 28.7). Снова имеются две вырожденные валентные зоны с максимумами при к = 0, которые в квадратичном по к приближении сферически-симметричны и характеризуются эффективными массами 0,28т и 0,044т (фиг. 28.8).
