Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
24 нольдса (для двухмерных течений жидкости Ю. С. Илья-шенко, М. И. Вишик и А. В. Бабин недавно получили оценку этой размерности сверху величиной порядка Re4), но стремится к бесконечности при Re —> OO.
Переход от устойчивого состояния равновесия процесса («ламинарного течения жидкости») к странному аттрактору («турбулентности») может совершаться как скачком (при жесткой или катастрофической потере устойчивости), так и после мягкой потери устойчивости (рис. 20). В последнем случае родившийся цикл сам теряет устойчивость
Удвоенный Странный аттрактор
! Мягкая й'ЗВаение Потеря устойчивости 1 TAooTt удвоенного цикла ____^
Рис. 20. Сценарий хаотизации
Потеря устойчивости цикла в общем одиопараметриче-ском семействе систем возможна несколькими способами: 1) столкновение с неустойчивым циклом (рис. 21), 2) удвоение (рис. 22), 3) рождение или смерть тора (рис. 23) (в терминологии Андронова: с цикла слезает шкура). Детали последних процессов зависят от резонансов между
25 частотами движения вдоль меридиана тора и вдоль era оси, т. е. от того, будет ли отношение этих частот рацио-: нальным или иррациональным числом. Интересно, что рациональные числа со знаменателем 5 и больше ведут себя практически как иррациональные.
Поведение фазовых кривых, близких к циклу, можно приближенно описывать при помощи эволюционного про-
цесса, для которого цикл является положением равновесия. Возникающие таким образом приближенные системы на сегодняшний день исследованы для всех случаев, кроме случаев, близких к сильному резонансу с отношением
Рис. 25. Вариант бифуркации коразмерности 2 вблизи резонанса
1 : 4
частот 1 : 4 (Р. И. Богданов, Э. И. Хорозов). На рис. 24 изображены перестройки семейства фазовых кривых при-блпж энной системы, соответствующие перестройкам расположения фазовых кривых в окрестности цикла; предпо-
26 лагается, что потеря устойчивости происходит вблизи резонанса 1 : 3. На рис. 25 изображена одна из возможных последовательностей событий вблизи резонанса 1 : 4. Основные результаты об этом резонансе получены не строгими математическими рассуждениями, а комбинированием догадок и вычислительных экспериментов на ЭВМ (Ф. С. Березовская и А. И. Хибник, А. И. Нейштадт).
Изложенная выше теория Пуанкаре — Андронова потери устойчивости состояний равновесия имеет так много приложений во всех областях теории колебаний (как систем с конечным числом степеней свободы, так и сплошных сред), что нет никакой возможности их здесь перечислить: механические, физические, химические, биологические и экономические системы теряют устойчивость на каждом шагу.
В работах по теории катастроф мягкая потеря устойчивости положения равновесия обычно называется бифуркацией Хопфа (отчасти по моей «вине», так как, рассказывая о теории Пуанкаре — Андронова Р. Тому в 1965 г., я особенно подчеркивал работу Э. Хопфа, перенесшего часть этой теории на многомерный случай).
В теории бифуркаций, как и в теории особенностей, основные результаты и приложения получены независимо от теории катастроф. Несомненной заслугой теории катастроф является введение термина аттрактор и широкая пропаганда знаний о бифуркациях аттракторов. Разнообразные аттракторы обнаружены теперь во всех областях теории колебаний; высказывалась, например, гипотеза, что различные фонемы речи — это различные аттракторы звукообразующей динамической системы.
При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчивости (рис. 26).
После того как параметр прошел через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла, т. е. мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрестности потерявшего устойчивость состояния равновесия еще некоторое время, за которое параметр успевает измениться на конечную величину. И лишь затем система скачком переходит на родившийся в момент бифуркации автоколебательный режим, так что потеря устойчивости кажется жесткой.
Интересно, что этот эффект —особенность динамической бифуркации — имеет место только в аналитических системах, В бесконечно-дифференцируемом случае вели-
27 чина ватягиваиия потери устойчивости, вообще говоря, стремится к нулю при уменьшении скорости изменения параметра.
Затягивание в модельном примере описано Шишковой в 1973 г. Доказательство того, что это явлепие имеет место во всех типичных аналитических системах с медленно
KBamcm ацио н ар нов приближение
фуркации
меняющимся параметром, было получено в 1985 г. А. И. Нейштадтом.
Известно, что улов горбуши колеблется с периодом в два года. Исследование экологических моделей, призванных объяснить эти колебания, привело А. П. Шапиро (1974) и затем Р. Мея к экспериментальному открытию каскадов удвоений периода: последовательные бифуркации удвоения быстро следуют одна за другой, так что на конечный отрезок изменения параметра приходится бесконечное число удвоений. Это явление наблюдается, например, для простейшей модели мальтузианского размножения с конкуренцией — для отображения х <->- Axerx (рис. 27), Здесь множитель в~х, уменьшающий коэффициент мальтузианского размножения А при увеличении размера популя-
