Теория катастроф - Арнольд В.И.
ISBN 5-02-014271-9
Скачать (прямая ссылка):
34 с полным внутренним отражением через каплю воды (рис. 38).
Каустика эллиптического фронта имеет четыре точки возврата. Эти особенности устойчивы: близкий к эллипсу фронт определит каустику с такими же особенностями. Все более сложные особенности каустик при малом шевелении рассыпаются на стандартные особенности: точки
пространстве
Рис. 37. Каустика Рис. 38. Теория радуги Де-
эллипса карта
возврата (локальное уравнение — х2 — у") и точки самопересечения,
Ce іема нормалей к поверхности в трехмерном пространстве также имеет каустику. Эту каустику можно построить, отложив на каждой нормали к поверхности радиус кривизны (поверхность, вообще говоря, имеет в каждой точке два различных радиуса кривизны, так что на нормали получается две точки каустики),
2* 35 Нелегко представить себе, как выглядят каустики да-Hte простейших поверхностей, например трехосного эллипсоида.
Каустики общего положения в трехмерном пространстве имеют лишь стандартные особенности. Эти особенности называются «ласточкин хвост», «пирамида» и тошелекЬ (см. рис. 39). Пирамида имеет три ребра возврата, касающиеся в вершине. Кошелек имеет одно ребро возврата и
Рис. 39. Типичные особенности каустик в трехмерном пространстве
состоит из двух симметричных носов лодки, пересекающихся по двум линиям. Эти особенности устойчивы.
Все более сложные особенности каустик в трехмерном пространстве при малом шевелении рассыпаются на эти стандартные элементы.
Рассмотрим для одного и того же начального фронта (например, эллипса на плоскости) его каустику и фронты распространяющегося возмущения. Нетрудно понять, что особенности распространяющегося фронта скользят по каустике и заполняют ее.
Например, метаморфоза волнового фронта 5 на рис. 36 соответствует ласточкину хвосту на каустике. Ребро возврата движущегося в трехмерном пространстве волнового фронта заметает поверхность каустики (ласточкин хвост). Однако это разбиение каустики на кривые — не то разбиение поверхности ласточкиного хвоста на плоские кривые, с которым мы встречались выше (на рис. 35). Ребро возврата движущегося фронта не имеет самопересечений. Через точку линии самопересечения каустики ребро возврата движущегося фронта проходит два раза. Интервал времени между этими прохождениями очень мал (порядка е6/2, где е — расстояние от вершины хвоста).
Точно так же при перестройках 3 и 4 (см. рис. 36) ребра возврата движущихся фронтов заметают пирамиду в кошелек.
36 Если исходный фронт движется (зависит от параметра), то его каустика также движется и при своем движении способна испытывать метаморфозы. Метаморфозы движущихся каустик на плоскости можно изучить, рассматривая сечения большой каустики в пространстве-времени, подобно тому, как мы это делали для фронтов. Полученные
г
1 Z ґ З Л -4
Рис, 40. Типичные перестройки каустик на плоскости
метаморфозы изображены иа рис. 40. (Это метаморфозы плоских сечений ласточкиного хвоста, кошелька и пирамиды.) Все более сложные метр юрфозы рассыпаются на
Рис. 41. Перестройка «губы»: рождение видимого контура
Рис. 42. Перестройка плоского сечения поверхности с ребром возврата
последовательности перечисленных при малом шевелении одиопараметрического семейства.
Обратим внимание па метаморфозу 1 рождения каустики «из воздуха», Новорожденная каустика имеет вид серпика с полукубическими остриями из концах («гу6ы»г но терминологии Р, Тома), Аналогичным образом рождается «из воздуха» видимый контур поверхности при изменении направления проектирования (рис, 41), Глядя на бугор сверху, мы не видим контура. Когда луч зрения наклоняется, появляется вначале точечная особенность, которая затем быстро растет (пропорционально \ft — tM где t0 — момент появления особенности) и имеет вид «губ». Описанную здесь перестройку мокно реализовать как перестройку плоского сечения поверхности с ребром возврата при поступательном движении плоскости (в момент перестройки плоскость касается ребра возврата (рис. 42)).
Рис. 43. Перестройка «верблюд»
Метаморфозу 3 также можно увидеть на видимом контуре, для этого достаточно посмотреть на двугорбого верблюда, проходя мимо него (рис. 43). В момент метаморфозы профиль имеет такую же особенность, как кривая уд = Xі.
Все перестройки видимых контуров поверхностей в общих однопараметрических семействах исчерпываются первыми тремя изображенными на рис. 40, 1—3.
Метаморфозы каустик, движущихся в трехмерном пространстве, получаются сечениями больших (трехмерных) каустик в четырехмерном пространстве-времени трехмерными изохронами. Эти метаморфозы изображены на рис. 44 и 45.
Одна из этих метаморфоз (/) описывает рождение новой каустики «из воздуха». Мы видим, что вновь родившаяся каустика имеет вид блюдца с заостренными краями. Через время t после рождения длина и ширина блюдца порядка Ytx глубина порядка ?, а толщина порядка t Y~t.
Каустика может сделаться видимой, если на пути светового пучка имеется рассеивающая среда (ныль, туман). В. М, Закалюкин предположил, что каустики этого вида наблюдатели описывают как летающие блюдца.
