Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать также, что ортогональность вектора г\ к фронту волны сохраняется при распространении фронта. Пусть имеются два близких луча таких, что начальные их точки лежат на фронте волны, соответствующем моменту t\f а конечные — на фронте в момент t2. Координаты начальных и конечных точек различаются на векторы Sxi(X1) и Sxi(X2), касательные соответствующим фронтам. Так как для этих лучей S^ (X2, X1) = W (Xlf X1) = 0, то из (И.8) получаем
ng(tx) =MM ^Ц,/
Отсюда следует, что вектор г\ всюду ортогонален фронту волны.
Теорема 39. Нормали в фронту электромагнитной волны в метрическом поле в общем случае не касаются лучей, а наклонены к ним под углом ?, определяемым формулой
V lT^l- <ПЛ1>
Лучи и нормали к фронту совпадают по направлению в синхронных системах отсчета, в которых метрический вектор равен нулю. В несинхронных же системах они, вообще говоря, не совпадают. Физически это объясняется анизотропностью скорости света, когда метрический вектор отличен от нуля. Угол между нормалью к волновой поверхности и касательным к лучу вектором обращается в нуль в несинхронной системе отсчета только в том случае, когда скорость света в направлении луча имеет наименьшее или наибольшее из всех возможных в данной точке значений.
Волновая скорость света vPj определяемая через лучевую скорость как uccos?, выражается простой формулой
V= — . (11.12)
р ng
Следовательно, величина tig имеет смысл гравитационного (метрического) показателя преломления. Отождествление ng с показателем преломления оправдано еще и тем, что криволинейный ин-(2) , .
теграл J ngv\dl) от вектора ngr\ вдоль луча имеет стационар-О)
ное значение. Здесь вектор dl совпадает по направлению с лу-
COS
162* чом, а по модулю равен дифференциалу длины дуги луча. Криволинейный интеграл равен времени распространения света между точками Mx и M2, в чем можно убедиться, подставив в уравнение (П.За) выражения для скорости света (1.134) с учетом (ІІ.9) и (11.10). Поэтому стационарность данного интеграла следует из теоремы 38.
Следствие 15. В приближении геометрической оптики метрические поля проявляют себя как анизотропная недиспергирующая оптическая среда с гравитационным показателем преломления ng.
В общем случае показатель преломления tig не является скалярным полем, а определен только в точках пространства вдоль луча. В синхронных системах отсчета ng является скалярным полем, а первая кривизна луча зависит как от градиента показателя преломления, так и от коэффициентов Wik второй квадратичной формы пространства (I. 111):
V(:)2^(z)2, (Н.13)
где
%l = diQnng) + Ча
Запишем алгебраическое уравнение распространения фронта волны в неявном виде
0)(/, Xі) = COnst (11.14)
и продифференцируем его вдоль луча. Воспользовавшись (II. 8) для дифференциала времени, получим
(-,14 + ?-)**'= о-
Учтем, что градиент дію направлен по нормали к фронту и, следовательно, параллелен вектору ц
Vo> = I VU> J 7j;
здесь V — дифференциальный оператор Гамильтона на пространственной гиперповерхности t = const, компоненты которого обозначены через d/J VajI — абсолютное значение градиента со. Подставляя последнее равенство в предыдущее, получаем
(-,?-+1^1)^=0.
Так как ^idxi вдоль луча всегда отлично от нуля, то
. ды
VuM
163* Таким образом,
Легко убедиться подстановкой всех необходимых функций, что равенство, получаемое после возведения (И. 15) в квадрат, совпадает с уравнением (1.13) характеристической гиперповерхности уравнений Максвелла — Лоренца. Уравнение (11.15) является трехмерным представлением дифференциального уравнения распространения фронта.
Определим эйконал L равенством
L
и введем волновой вектор и частоту
= - sign k = yL
dL
Тогда уравнение (II. 15) принимает форму
k = (11.16) а его квадрат — форму уравнения эйконала
Ifzf=^v2. (11.17)
В постоянном метрическом поле частота волны вдоль луча постоянна, поэтому L=v(X0—t), где L0 — функция, совпадающая с эйконалом, определенным обычным образом в геометрической оптике (см., например, Борн, Вольф, 1970), и удовлетворяющая обычному уравнению эйконала для оптической среды с показателем преломления tig
W- «І-
Уравнение эйконала (И.17) является основным в релятивистской геометрической оптике для вакуума. Его можно привести к удобному виду, в котором фигурируют, кроме эйконала, только метрические поля. Для этого частоту нужно выразить через волновое число k= I k I и записать уравнение дисперсии для вакуума
V = ke-*[\f\+a2 - (а4-)], (11.18)
164* через волновое же число нужно выразить и гравитационный показатель преломления
1
— = е
nS
Vl+а2
а-
(11.19)
Подставляя эти равенства в (II. 17), получаем следующее уравнение, которому должен удовлетворять эйконал
(?)2 - 2^ If KJ - (1 + я2) fei + Ш2 = 0. (II.
20)
Имея уравнение дисперсии (II. 18), можно, как известно, записать и другую основную систему уравнений геометрической оптики, а именно, уравнения лучей (уравнения Гамильтона)
dx1 dt
