Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
равна нулю, то из неотрицательности ({i + р{а)) и [х (лемма 20) следует |х = 0 независимо от значений сл d и Л, а из неотрицательности |х2 — р{аП следует р(а) = 0. Следовательно, и в этом случае Гв? = 0.
Инвариант cS и 4-векторы Pa и рл = Рл — %еа условно можно назвать плотностью энергии, 4-вектором плотности энергии-импульса и 4-вектором плотности импульса на пространственнопо-добной гиперповерхности, ортогональной еа. Вектор ра прост-ранственноподобный, принадлежит гиперповерхности и иначе может быть представлен равенством
л*=-^еЧ>іп)- о-198)
Легко видеть, что
^2 -PaPa = - P1P1 >0,
т. е. плотность энергии не меньше (равна в случае излучения) абсолютного значения плотности импульса. Отсюда термин энергодоминантность.
147*Плотность энергии вещества и излучения вместе с собственными значениями тензора энергии-импульса вещества определяет среднюю кривизну мира в точках гиперповерхности в пространственно- и временноподобных направлениях. Средней кривизной мира Kr на гиперповерхности в пространственноподобном направлении называется треть суммы кривизн в любых трех взаимно ортогональных направлениях, принадлежащих гиперповерхности, а средней кривизной Кт во временноподобных направлениях называется треть суммы кривизн мира в любых трех взаимно ортогональных направлениях, ортогональных к гиперповерхности.
Теорема 32. Средняя кривизна мира на пространственноподобной гиперповерхности в пространственноподобных направлениях равна
Kr-^W. (1.199а)
а во временноподобных направлениях —
Kr = - -J- [2W- V-+р(1) +р{2) + Л (1,1996)
Доказательство. Используя формулу (1.171), выражаю-Шую тензор кривизны мира через геометрические величины, принадлежащие заданной пространственноподобной гиперповерхности, можно вычислить кривизну мира в направлениях, определяемых парами векторов е, г\(п) и т)" г\щ:
К ( "W = І 1?пп + " ^ 7^ ~ "Т НппТ)\
К( 7W= H11H1H-Hll (p^ + ""ш" "" "У'
Ортогонализируя векторы г|"л) и учитывая уравнения Эйнштейна в форме (1.165), легко теперь получить формулы (1.199а), (1.199 6).
Следствие 14. Средняя кривизна мира определяется собственными значениями тензора энергии-импульса вещества в соответствии с формулой
к (ц -Pll)-Pm -pm). (1.200)
Теорема 33. Гауссова кривизна пространственноподобной гиперповерхности определяется ее второй квадратичной формой и плотностью энергии вещества и излучения, согласно формуле
^o«-г»+т(-»•"-(•:)')• <U01>
148*Гауссовой кривизной называется средняя внутренняя кривизна гиперповерхности. Теорему легко доказать, отталкиваясь от уравнений (1.165).
Термины плотность энергии, плотность энергии-импульса и плотность импульса присвоены соответствующим величинам условно, так как они не всегда имеют глубокий смысл сохраняющихся физических величин. Скорее наоборот. Пусть в мире существует вектор Киллинга (Эйзенхарт, 1947), который, по определению, удовлетворяет уравнениям
+ О- 0-202)
Этому вектору соответствует поле Zix=-TntvSv, удовлетворяющее в силу уравнений движения (теорема 7) уравнению непрерывности (1.180). Поэтому каждому вектору Киллинга отвечает сохраняющаяся величина, распределенная с плотностью Sv е^ (теорема 31). Если еа—также вектор Киллинга, как это имеет место, например, в инерциальных системах отсчета, то плотность сохраняющейся величины есть проекция Txv на два вектора Киллинга — на две степени свободы (подвижности) мира,— и в этом ее глубокий физический смысл. Тогда плотность энергии является плотностью сохраняющейся полной энергии и имеет смысл таковой только в системах отсчета, физическое пространство которых ортогонально временноподобному вектору Киллинга. Если к тому же и т]*л) (или только один из них) будут векторами Киллинга, то плотности соответствующих им сохраняющихся величин совпадают с проекцией 4-вектора плотности импульса на г|"л). При этом плотность потока энергии через двумерную поверхность равна проекции плотности импульса на ортогональное к поверхности направление. Другим векторам Киллинга отвечают законы сохранения момента импульса и движения центра инерции физической системы.
Теорема 34. Если в мире существуют направления подвижности мира, среди которых одно — временноподобнде, то в нем существуют и системы отсчета, в которых выполняются законы сохранения энергии и других механических величин, таких как проекции импульса и момента импульса вещества и излучения. Физическое пространство этих систем отсчета ортогонально временноподобному направлению подвижности мира. Число сохраняющихся величин вместе с энергией равно числу независимых направлений.
Условие максимальности числа сохраняющихся величин совпадает с условием максимальной однородности мира*. В мире постоянной кривизны существуют системы отсчета, в которых вы-
* Это и другое, близкое, хотя и не совсем совпадающее по содержанию с теоремой 34, утверждения впервые, по-видимому, сформулированы Фоком .(I960).
149*полняется закон сохранения всех десяти механических величин. В мире Минковского, в частности, ими являются инерциальные системы отсчета.