Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
превратится в такую кривую, что, обозначая через а угол наклона касательной в точке M к горизонту, через T — натяжение в этой точке, через Р — вес дуги M0M, отсчитываемой от наинизшей точки M0, где натяжение равно T0, мы сможем написать
P
tga = — , T0=Tcosa.
1 о
Например, если вообразить однородную тяжелую нить, находящуюся в равновесии, то вес нити от наинизшей точки M0 до точки M пропорционален дуге M0M, длину которой обозначим через s. Следовательно, для кривой равновесия (цепной линии)
(а — постоянная). Ниже мы дадим уравнение этой кривой в конечной форме (п. 139).
Если тяжелая нить не однородна, но ее линейная плотность j> (как она определена в п. 114) есть известная функция дуги «, отсчитываемой от M0, то
S S
P = g I р ds, tga = і I pds, о о
где а, как и раньше, — постоянная.
Висячие мосты. Будем предполагать, что подвесные стержни вертикальны, находятся на одинаковых расстояниях друг от друга и одинаково нагружены. Мы будем пренебрегать весом этих стержней и каната. Будем, наконец, предполагать, что канат симметричен относительно вертикальной плоскости, перпендикулярной к его собственной плоскости, и что он абсолютно гибок и нерастяжим. Примем вертикальную плоскость, содержащую канат, за плоскость чертежа, прямую ее пересечения с плоскостью симметрии за ось у и прямую хх' ее пересечения с плоскостью моста, которая предполагается горизонтальной, за ось х. Будем предполагать число стержней четным, т. е. что в середине многоугольника имеется горизонтальное звено M0M1 (рис. 83). Обозначим через а расстояние между стержнями и через Xjc, ук координаты вершины Mjc. Координаты вершины M1 будут a/2, Ь. Координаты остальных вершин могут быть подсчитаны последовательно по формулам
хъ = хк- 1 + а' У* = У*-1 + а tSafc-I'
в которых tga равен ^ ^p , так как веса рь р9, ... равны вдному
J0
и тому же весу р. Таким путем найдем:
Xk = -^-jCik-\) а, Ук = Ь + ^-[ 1+2+ ...
jO ^1O
Это последнее уравнение может быть непосредственно получено, если заметить, что внешние силы, приложенные к части M1M2... Мк, образуют систему векторов, эквивалентных нулю, вследствие чего сумма их моментов относительно точки .Mk равна нулю. ГЛАВА VIT. ИЗМЕНЯЕМЫЕ. СИСТЕМЫ
159
В этих выражениях имеется еще неизвестное натяжение T0. Оно может быть определено, если известна точка подвеса последней вершины Aln. Пусть h — высота этой точки; тогда
^_Li я(п— 1) ар
п~0+ 2 T^'
что и определяет 7V Вершины многоугольника находятся на параболе с вертикальной осью. В самом деле, если в равенствах
ai /и 1ч L , k(k — I) ар
х = ~2- + (* —1)я, У = Ь + —~—'--f-
изменять k непрерывным образом, то точка х, у опишет параболу с вертикальной осью и вершины многоугольника будут точками этой параболы, соответствующими целым, значениям k. Легко, кроме того, показать, что звенья многоугольника касаются в своих серединах другой параболы с вертикальной осью.
Если число стержней будет очень большим, а звенья очень малыми, то многоугольник можно будет отождествить с кривой, которая, согласно вышеизложенному, будет обязательно параболой. В этом можно также убедиться, если заметить, что тангенс угла наклона звена MiiMjc^1 пропорционален абсциссе его середины. Если многоугольник отождествляется с кривой, то угловой коэффициент касательной в какой-нибудь точке этой кривой пропорционален абсциссе этой точки, что является характерным свойством параболы с вертикальной осью.
127. Графические приложения теории веревочных многоугольников. Геометрические и механические свойства веревочных многоугольников послужили поводом к возникновению новых теорий, начало которым было положено в заметке Понселе и которые были впоследствии подробно разработаны в руководствах графической статики Кульмана, Кремоны, Мориса Леви, Руше. Можно указать также на элементарную книгу Зейрига в серии. Aide-Mdmoire Леоте и на книгу П. Монтеля «Статика и сопротивление материалов» (Gauthier-Villars, 125). Мы ограничимся здесь рассмотрением некоторых примеров.
1°. Графическое определение равнодействующей нескольких сил, лежащих в одной плоскости. Пусть в плоскости задано произвольное число сил, например, заданы четыре силы F1, Fo, F3, Fi, имеющие равнодействующую, не равную нулю. Построим многоугольник этих сил, проведя через некоторую точку A6 вектор A5A1, равный и параллельный силе F1, через точку A1 — вектор A1Ao, равный и параллельный силе F2,..., наконец, через точку A3—вектор AsAi, равный и параллельный силе F4, и перенумеруем стороны этого многоугольника, обозначая буквой г сторону, равную и параллельную силе Fr. Равнодействующая сил F1, F2,..., Fi равна и параллельна стороне A5Ai, имеющей номер 5. Возьмем в плоскости точку А и соединим ее с вершинами A6, A1, A2, A3, Ai многоугольника сил. Обозначим через (г, s) диагональ, соединяющую точку А с точкой пересечения сторон г и S. Мы получим таким образом многоугольник Вариньона. Построим соответствующий веревочный многоугольник. Для этого проведем произвольную прямую L6M1, параллельную диагонали (5, 1), и обозначим через TH1 точку, в которой она пересекает направление силы F1. Через AI1 проведем прямую M1M2 (рис. 84), параллельную диагонали (/, 2), и обозначим через Mol точку ее пересечения с направлением силы F2 нт. д. ... , через точку Mi проведем MiN5 параллельно (4, 5). Эта последняя 160
