Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
35. Даны три косоугольные оси Ох, Oy, Oz. Обозначим через Sz площадь сечения однородного тела плоскостью, параллельной плоскости хOy, а через S', і)', г — координаты центра тяжести площади этого сечения, предполагаемой однородной. Доказать, что центр тяжести тела имеет координаты
Z1 Z1 Z1
= k J S2S' dz, Vfl = k J S2T)' dz, Vr, = k JszZdZ,
где z0 и z1 — координаты z плоскостей, ограничивающих тело, V—его объем |v = k J Sz dz^ и k — объем параллелепипеда, основание которого параллельно плоскости ху и имеет площадь, равную единице, и образующие которого параллельны оси Oz и равны по длине единице.
(Разбить тело на бесконечно тонкие слои плоскостями, параллельными плоскости ху.)
36. Из предыдущего упражнения следует, что если центры тяжести параллельных плоских сечений лежат в одной плоскости, то центр тяжести тела также лежит в этой плоскости. Если центры тяжести сечений расположены на прямой, то центр тяжести объема также лежит на этой прямой. Это последнее обстоятельство имеет место для части тела вращения, заключенной между двумя плоскостями, перпендикулярными оси, и для объема, ограниченного поверхностью второго порядка и двумя параллельными плоскостями.
37. Если Sz есть функция второй степени относительно г, то обозначая через S0, Si, а площади обоих оснований и равноотстоящего от них сечения, а через h — высоту тела, получим
К (S0+ Si+ 4а).
Расстояния от центра тяжести объема до обоих оснований S0 и Si относятся как Si + 2а к S0 + 2а. Формулы эти применимы к усеченным пирамидам и конусам, а также к частям поверхностей второго порядка и линейчатых поверхностей, заключенных между двумя параллельными плоскостями.
38. Ддя тел, указанных в предыдущем упражнении, справедлива следующая теорема: центр тяжести тела совпадает с центром тяжести трех масс, помещенных в центрах тяжести обоих оснований и среднего сечения и равных соответственно площадям оснований и учетверенной площади среднего сечения. (Дарбу, Статья в «Механике» Депейру, стр. 38а—388.) ГЛАВА VII
ИЗМЕНЯЕМЫЕ СИСТЕМЫ
120. Предварительное замечание. В главе V мы указали необходимые условия равновесия произвольной материальной системы в следующей форме.
Если произвольная система находится в равновесии, то приложенные к ней внешние силы (т. е. все силы, отличные от взаимных реакций различных частей) образуют систему скользящих векторов, эквивалентную нулю, т. е. удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу.
То же условие должно выполняться для внешних сил, приложенных к любой части материальной системы, если рассматривать ее как отделенную от остальной части.
Об этом можно составить себе представление на основании следующих рассуждений, основанных на идее затвердевания: если система находится в равновесии, то последнее, очевидно, сохранится, если все точки станут неизменно связанными между собой, т. е. если система затвердеет. Внешние силы должны уравновешиваться для полученного таким образом твердого тела и, следовательно, они удовлетворяют общим условиям равновесия твердого тела. Эти необходимые условия не будут, вообще говоря, достаточными. Мы применим эти рассуждения к некоторым изменяемым системам.
I. Веревочный многоугольник
121. Определение. Так называют систему материальных точек M1, M2, ¦ ¦ ¦, Mn, каждая из которых связана с последующей при помощи гибкой нерастяжимой нити. К каждой из этих точек приложена соответственно одна из сил F1, F2, ..., Fn, под действием которых фигура может иметь некоторое положение равновесия в виде плоского или пространственного многоугольника. Исследуем условия равновесия такого многоугольника.
Рассмотрим сначала случай, когда имеются только две точки M1 и M2 и две силы F1 и F2. Равновесие может иметь место лишь тогда, когда внешние силы F1 и F2, действующие на точки M1 и M2, равны и прямо противоположны. Это необходимое условие не будет достаточным. Кроме того, силы должны иметь такое направление, глава vii. изменяемые системы
153
Г,
М, Д В M2 Рис. 78.
при- котором нить растягивается. Если силы будут направлены так, чтобы точки сближались, то равновесия не будет. Чтобы в этом случае оно все таки было, нужно заменить нить твердым стержнем (рис. 78).
122. Натяжение. Допуская, что равновесие имеет место, возьмем на нити M1M2 (рис. 78) произвольную точку А и выделим часть MiA. Полученная нить MiA раньше находилась в равновесии. На нее действовали только сила Fi и часть нити AM2. Необходимо, следовательно, заменить это действие ,силой, равной и противоположно направленной
силе Fi. Эта сила называется натяжением в точке А. Она равна по абсолютному значению силе Fi и одинакова во всех точках нити. Точно так же часть AM2 находится в равновесии под действием силы F2 и натяжения, приложенного в точке А в сторону AMi. Наконец, произвольная часть AB нити находится в равновесии под действием натяжений, приложенных на обоих концах в направлениях AM1 и BM2.
Вообще, если рассматривается произвольная часть веревочного многоугольника, находящегося в равновесии, например часть PMiMiMbM6Q, полученная рассечением нитей M2M3 и M6M7 в точках PhQ, то можно считать, что она находится в равновесии под действием сил, непосредственно приложенных к его вершинам M3, M4, M5, M6(рис. 79) и под действием натяжений сторон PM3 и M6Q, приложенных в точках PhQb направлениях M3P и M6Q. Эти силы и два натяжения удовлетворяют условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу.
