Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущие теоремы имеют место в наиболее общих случаях. Для частных положений сил число 4 может быть увеличено и стать даже бесконечным.
24. Твердое тело находится в рассматриваемом положении в равновесии. Спрашивается, будет ли при предположениях упражнения 11 существовать для него ось равновесия.
Решение. Достаточно исследовать, существует ли ось равновесия Oz'. проходящая через О. Для этого отнесем систему к новым осям Ox', Oy', Oz', образующим со старыми углы, косинусы которых равны я, я', а", ?, ?', ?", f. y', Y'> и наедем соответствующие этим новым осям величины F', G', H', V, т', п'. Если для сокращения положить
т + л = /, п-\-1 = g, l + m = h
и обозначить через /', g', h' аналогичные величины относительно новых осей, то придем к следующему результату. Рассматривая квадратичную форму
ф (и, и', и") = /и2 + gu'2 + hu"2 — 2Fu'u" — 2Gu"и — 2Huu', можно написать:
/' = ф (а, а', a"), g' = ф (?, ?', ?"), h' = <|» (T, Y, f),
+ + «г—№-)•
Для того чтобы ось Oz', направление которой определяется косинусами f, У, Yr, была осью равновесия, необходимо и достаточно, чтобы f, Y' удовлетворяли уравнениям
dt dY dY' '
которые выражают, что дискриминант формы ф равен нулю.
25. Найти положения равновесия однородного тяжелого стержня AB, один из концов которого прикреплен при помощи нерастяжимой и не имеющей массы нити АО к неподвижной точке О, а другой конец скользит без трения по горизонтальной плоскости.
26. Даны материальные точки с массами ть т2, ..., тп. Пусть M—сумма их масс, G — их центр тяжести и А — произвольная точка. Доказать два соотношения:
J ти ¦ ткА"1 = J т* " ^3 + М ' ^2' Mjmk-^A2 = M2 - AG2 + J
где m^mic обозначает расстояние между точками ті и тк (Лагранж). 150
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
27. Центры тяжести однородных линий. Дуга круга. Доказать, что расстояние от центра круга до центра тяжести дуги круга есть четвертая пропорциональная между дугой, радиусом и хордой.
; X4
28. Дуга цепной линии у = + е uJ. Доказать, что центр тяжести дуги цепной линии имеет ту же абсциссу, что и точка пересечения касательных к ней в концах А и В. Если точка А есть вершина кривой, то ордината центра тяжести равна половине ординаты точки пересечения нормали, проведенной в точке В, с осью Oy.
29. Однородные плоские фигуры. Доказать, что если однородная плоская фигура имеет прямолинейный диаметр, сопряженный с некоторым, направлением хорд, то центр тяжести лежит на этом диаметре..
30. Центр тяжести площади треугольника совпадает с центром тяжести трех равных масс, помещенных в трех вершинах; центр тяжести площади трапеции лежит на прямой, соединяющей середины оснований b и В и делит эту прямую в отношении 2В + b к 2b + В.
31. Центр тяжести части плоскости, ограниченной дугой цепной линии AB, осью X (основанием цепной линии) и двумя ординатами точек А и В. (Абсцисса центра тяжести равна абсциссе центра тяжести дуги AB', его ордината равна половине ординаты центра тяжести дуги AB.)
32. Неоднородные фигуры. Центр удара. Дана плоская фигура S. Рассмотрим прямую AA' в ее плоскости и допустим, что плотность р в какой-нибудь точке пропорциональна расстоянию 8 от этой точки до прямой AA'. Центр тяжести G полученной таким образом материальной поверхности называется центром удара относительно оси AA' фигуры S, если считать ее однородной. Эта точка встречается в теории удара, а также в гидростатике. Доказать, что центр удара G и ось AA' образуют систему полюсов и поляр относительно неподвижного мнимого конического сечения, центр которого совпадает с центром тяжести площади S, если считать ее однородной.
Ответ. Примем за начало центр тяжести площади S, предполагаемой
однородной, и обозначим через da элемент этой площади. Интегралы j" j" х da и J J у da, распространенные на площадь, равны нулю. Можно выбрать такое направление прямоугольных осей х Oy, чтобы J J ху da также равнялся нулю. Тогда J J da = S. Положим, кроме того, что
J J x^da = a2S, JJ у2 da = b^S.
Пусть их + Vу + 1 =0 — уравнение прямой AA'. Предполагаемая плотность площади S в точке (х, у) будет
- (их vy + 1) (k — постоянная).
Yu4- 4- V'
Координаты точки G будут тогда ? = а2и, i) = b2v, и эта точка является
X2 у2
полюсом прямой AA' относительно мнимого конического сечения — 4- ^ +
4-1=0. Можно также сказать, что точка G симметрична с точкой О относительно полюса прямой AA' для вещественного конического сечения X1 v2 ГЛАВА VI. РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
151
33. Криволинейные однородные поверхности. Пусть S — часть сферической поверхности радиуса R, а— ее проекция на диаметральную плоскость и В — расстояние от ее центра тяжести до этой плоскости. Доказать формулу
SB = Ra.
34. Однородные объемы. Если однородный объем имеет диаметральную плоскость, сопряженную некоторому направлению хорд, то центр тяжести лежит в этой плоскости. Например, тетраэдр (центр тяжести совпадает с центром тяжести четырех равных масс, помещенных в четырех вершинах), усеченный цилиндр (центр тяжести есть середина прямой, параллельной образующим и соединяющей центры удара обоих оснований относительно прямой их пересечения).
