Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы найти траектории, проходящие через точки А и В, надо определить эти постоянные, подставив в уравнения (4) координаты точек А и В. Тогда будет
dW0_ dW0 ^W1 _ dW,_ ,
~Та--"IT ?' ~дГ~а' --?- () 500 часть третья, динамика точки
Вычитая, получим
d(W,-W0) d(W,- w0) _0
да ' д$ '
Эти два последних уравнения определяют а и ?, а предыдущие уравнения (5) определяют а' и ?'. Каждой системе значений а и ?, заданной уравнениями (6), соответствует траектория, проходящая через точки А и В, для которой справедлива следующая замечательная теорема: значение действия вдоль траектории AB определяется формулой
Jl=W1- W0.
В самом деле, найдем, каково будет элементарное приращение dW функции W1 соответствующее бесконечно малому перемещению dqv dq2, dq3, совершаемому по этой траектории. Мы можем предположить, что qlt q2, q3 являются координатами материальной точки, брошенной таким образом, чтобы она описала рассматриваемую траекторию. Тогда
dW dW dW
dW=^dq1 + ^dq2 + ^dq3 (6')
или, подставляя q\dt, q'2dt, q'3dt вместо dqv dq2, dq3 и plt p2, p3 вместо
dW dW dW
- , -r;-, —r— , получим
dqx dq2 dq3
dW = + p2q2 + р39з) dt. Так как рь р2, р3 суть частные производные от T по qv q2, q3 и так как кинетическая энергия T РавНа~2\^1 > т0 на основании теоремы об однородных функциях имеем
rf?
dW = 2Т dt = ds.
dt
Но по теореме кинетической энергии скорость -щ равна Y2 (U + /г); отсюда
dW = Y2(U+h) ds.
Следовательно, значение действия, вычисленного вдоль траектории от А до В, окончательно будет
(В) (В)
A = J YHU + h) ds= J dW =W1- W0,
(^) (Л)
что и надо было доказать.
310. Точка на поверхности. Те же заключения справедливы и для движения точки по плоскости или по произвольной неподвижной поверхности, когда существует силовая функция.
Кинетическая энергия будет тогда квадратичной формой относительно q'v q2 или относительно pv р2.
2T = auq[" + 2a12q[q2 + a22qf = -і- (Аир\ + 2А12р1р2 + А22р(7)
где
D — ^11^22 — ^12' "^ll ~ ^22' A12 = *^22 = ^ll* глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 501
H равно T—U и уравнение Якоби для W будет
Если W (ft, ft, a, А) есть полный интеграл, то уравнение траекторий будет dW
• = а' и действие вдоль траектории, идущей от А до В, равно W1 — IF0,
d (IF1-Wr0) А /П *
причем о определяется уравнением —-—-— = 0. (Более подробное
исследование этих свойств см. в «Legons sur Ia Theorie des surfaces» Дарбу, т. II, главы VI и VII).
311. Параболическое движение. Для параболического движения тяжелой точки в вертикальной плоскости мы нашли (п. 302)
W = ах — (2А — а2 — 2gy) 2.
Значение действия вдоль одной из двух параболических траекторий, идущих ОТ ТОЧКИ (X0, Уо) к точке (Jf1, у1), равно
Л
6 6 = a (X1 - X0) - ^r [(2А - а2 - 2ЄУі)4 - (2А - а'- - 2^у0)?] ,
где а—один из двух корней уравнения
-^i — -^o + ^ [(2Л — «з_а _(2А-*2-2?Уо)2] = 0. (9)
Это уравнение после приведения к рациональному виду будет биквадратным относительно а. После того как одно из значений а2 будет выбрано, знак величины а определится из уравнения (9), в котором член X1 — X0 и
коэффициент при — имеют известные знаки.
312. Брахистохроны и фигуры равновесия нитей в случае силовой функции. Задача рефракции.. Если мы для краткости заменим в предыдущих равенствах 2(t/+A) величиной <р2, где ? — функция координат, то увидим, что результаты, полученные для свободной точки, могут быть выражены следующим образом. Кривые, соединяющие две точки А и В и обращающие в минимум интеграл
(-В)
/= J fds, (10)
будут известны, если известен полный интеграл W (ft, ft, ft, а, ?) уравнения Якоби (3) относительно W, в котором 2 (?/+ А) заменено величиной <р2:
Их уравнения будут
OW dW
и значение интеграла I вдоль одной из этих кривых равно W1 — IF0, причем постоянные а и ? вычисляются, как и раньше, при помощи уравнений (6).
33
Зак. 851. П. Аппель, т. 1 502
часть третья, динамика точки
Например, в прямоугольных декартовых координатах достаточно знать полный интеграл уравнения
(dw\2 (dwy./dwy ,
ы +ы +ы
Точно так же, чтобы найти на неподвижной поверхности кривые, соединяющие две точки А и В и обращающие в минимум интеграл /, достаточно иметь полный интеграл W (qy, q2, я) уравнения Якоби (8) относительно W, в котором нужно заменить 2 (U + h) величиной <р3. Получится уравнение
1 Г. jdW\2 dW dW . , /дігуп , ,10ч
TrLiluIasr) + = Т (12)
Искомые кривые будут тогда иметь уравнение — а', и интеграл (10)
вдоль одной из этих кривых равен IF1 — W0.
Но мы видели, что к нахождению кривых, обращающих в минимум интеграл вида (10), можно свести три следующие задачи:
1) определение фигуры равновесия нити, свободной или лежащей на поверхности, когда действуют силы, имеющие силовую функцию (п. 146);
2) общую задачу рефракции (п. 150);
3) определение брахистохрон для точки, свободной или движущейся по поверхности, когда существует силовая функция (пп. 255 и 257).
Эти задачи могут быть, следовательно, приведены к нахождению полного интеграла уравнения с частными производными вида (11) или (12). Значение интеграла (10) вдоль одной из этих кривых, идущих от А к В, есть IF1— W0-В частном случае брахистохрон значение этого интеграла определяет время, затрачиваемое точкой для пробега дуги AB брахистохроны. (См. К л е б ш, Journal de Crelle, т. 57, стр. 93; Anne ль, Comptes rendus, 12 марта 1883 и Annales de la Faculte de Toulouse, 1887; Андуайе, Comptes rendus, m. C, стр. 1577; Марколонго, Rendiconti della R. Accademia delle Scienze di Napoli, июль, 1888.)
