Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Примечание. Таким же путем можно привести к квадратурам задачу о движении точки, находящейся под действием сил, которые в примененных нами координатах имеют силовую функцию вида
U1 — U2
Яі~ Яг
где U1 — произвольная функция только переменного ft, a U2 — функция только переменного ft. Например, эта форма силовой функции сохранится, если к предыдущим силам (притяжениям к неподвижным центрам O1 и O2 по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния) присоединить силу притяжения к точке О, пропорциональную расстоянию, силу притяжения, перпендикулярную к плоскости у!Oz1 и обратно пропорциональную кубу расстояния X, и силу притяжения, перпендикулярную оси Ox и обратно пропорциональную кубу расстояния у.
Отметим, в заключение, работу Вельде «Ueber einen Specialfall der Bewegung eines Punktes welcher von zwei festen Centren angezogen wird» (Берлин, изд-во Р. Гартнера, 1889) (Bulletin des Sciences mathematiques, 1890 стр. 125). Вельде рассматривает задачу плоского движения в предположении
что силы притяжения к фокусам O1 и О-, равны соответственно--1 — ^r1,
п ¦
Ij-O ~
— —j— (J.rо и что движущаяся точка притягивается центром С пропорцио-
п
нально расстоянию.
308. Эллиптические координаты в пространстве. Мы нашли (п. 286)
что
г =I (Ml9f+^2з2>
Тогда
Допустим, что силовая функция имеет вид
и=_Ц і У* і _^L_
(Qi — Яг) (Яі — Яз) Т (Яг — qs) (Яг — Яі) (Яв — Я\) (Яз — Яг) 498 часть третья, динамика точки
где U1 — функция одной только переменной qlt U2 — функция одной ТОЛЬКО переменной q2 и ^3 — только переменной q3. Имеем
Если мы подставим вместо Af1, Afo, Af3 их значения (п. 286), то уравнение для W будет следующее:
-А + гГ_Ш_f +_Ш_AV +
L (9> — 9а) (9i — 9з) \ dQi ) (9з — 9з) (92— 9i) \ dq2 }
+_т__
(9з — 9і) (9з — 9-і) \ / -I
Для нахождения полного интеграла этого уравнения при сделанных относительно U предположениях заметим, следуя Якоби, что при любых Значениях ПОСТОЯННЫХ а и ? выполняется тождество
2° + 2?9x + hq\ 2в+20?+ A9J 2a+2??3 + A q*
= A,
(9i — Яг) (її — 9з) ' (9з —9з)(9з —9і) (9з —9і) (9з~ 9г)
в чем можно убедиться, написав, что сумма вычетов рациональной относительно q функции
2а -j- 2?9 + hqi
(9—9і)(9 —9з) (9 —9з)
равна А. Тогда уравнение для W при замене А этим выражением может быть написано следующим образом:
2/ (9i) 2а - 2 ?9l - Л9? - 2/ (9,) (-^-)2 - ... -U2
(9і — 9г) (9і — 9з) ' (9г~ 9з) (92—9i)
(9з —9і)(9з —92)
Это уравнение имеет, очевидно, интеграл
"-ffmt""+/ /"tS7 rf^+/ /Ж ^
где положено
25Ї = 2а + 2?9i + А9? - Ui (/=1,2, 3).
Действительно, это выражение для IF обращает в нуль каждый из трех членов уравнения с частными производными. Для нахождения траекторий приравняем теперь постоянным а' и ?' частные производные от W по а и ?:
dq3
S3/Ш
9з^9з
f dqi + f dq~ + f dq'; J YS1Ziq1) J /5,/(92) УГ57Л
f і /* 92 dg2 Г
J Ys1Ziq1) J Ys2Ziq2) J YssZigi)
В частном случае, когда нет сил, т. е.
U1 = U2=U3= О, глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 499
эти уравнения должны представлять прямую линию в пространственных эллиптических координатах. Они эквивалентны двум алгебраическим соотношениям между qi, qt, qs. что составляет первое обобщение результата Эйлера, указанное в конце предыдущего упражнения, и частный случай теоремы Абеля, приложенной к ультраэллиптическим интегралам первого рода. Что касается времени, то мы получим его, приравнивая t-^-ta частной
„ dW производной .
В виде упражнения будет показано, что силовая функция принимает вышеуказанную форму, когда на движущуюся точку одновременно действуют притяжение к центру, пропорциональное расстоянию, и притяжения, нормальные к трем главным плоскостям софокусных поверхностей и изменяющиеся в отношении, обратном кубу расстояний.
V. Приложения к принципу наименьшего действия, к брахистохронам, к равновесию нитей
309. Наименьшее действие. Свободная точка. Допустим, что на свободную точку массы 1 действует сила, имеющая силовую функцию U (-*¦, у, г). Мы видели, что если постоянная живых сил h имеет определенное значение, то траектории, проходящие через две заданные точки А и В, являются кривыми, обращающими в нуль вариацию действия
т
Л = J Y'HU + h) ds. (1)
Эти траектории легко найти, если известен полный интеграл уравнения Якоби относительно W в произвольной системе координат:
dW dW dW \ , .
rw-ww-9bqi'qv~h==0- (2)
Для дальнейшего полезно написать это уравнение в явной форме. Мы видели (п. 293), что T является квадратичной формой от
Ai,
Я
2 ^=Sttpa {аік = лкі)'
кроме того, H = T — U. Уравнение Якоби, получающееся заменой рь р0, р3
dW dW dW производными -щ—> ~~dq~' dq, ' имеет вид
Aik dW dW
= 2(U + h) (i,k = 1, 2, 3). (3)
-J D dq. dqk
Пусть теперь W (qit qz, qz, a, ?, h) — полный интеграл этого уравнения, a Wr0 и Wi — значения, которые он принимает в точках А и В. Мы знаем, что уравнения траекторий в конечной форме суть
да o? Р ( '
с четырьмя постоянными а, ?, а', ?'.
