Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
32 Зак. 851. П. Аппель, т. I 486 часть третья, динамика точки
Якоби нашел другой полный интеграл следующим образом. Пусть А — произвольная точка на оси х и OA = г0. Обозначим через р расстояние MA, так что
P = У(Х -- Г0)2 + у2, Г = YJfl + У2,
и положим
а = Г+ р, а'= г —р.
Покажем, что функция
= Jvr
представляет собою полный интеграл уравнения (1) с произвольной постоянной г0, отличной от аддитивной. В самом деле, так как а и а' зависят от X и у через г и р, то имеем:
dI = (T^-sT)Vr rfc +S*)/Hfc+Tt-'
(2)
откуда, возводя в квадрат, складывая и замечая, что члены, содержащие произведение двух квадратных корней, уничтожаются, получаем
В этом выражении коэффициент при h равен двум; чтобы вычислить коэффициент при (а, заметим, что имеем тождественно
2jc (X - г0) + 2у2 _ 2рг-г2-р2 + 'о _ (o' + г0) (а' - г0)
гр гр г?
2 2х(х — Г0) + 2у2 ^ 2рг + Г2 + P2 r2Q _ (°+г0)(а —г0) гр гр гр
2и-
откуда найдем, что члены с (і приводятся к у.
Таким образом, мы убеждаемся, что функция W является интегралом уравнения Якоби (1) с постоянной г0. Уравнения движения в конечной форме теперь будут
OW и , „ dW глава xvi. канонические уравнения. теорема якоби 487
Первое уравнение представляет собою траекторию. Написав его в развернутом виде, найдем:
р T о + Гп 2 р Га'
+ Го 1 2
1
2 у. ds
так как а и а зависят от г0 и
да _ dp _ X — г0 да'_ dp _X — г0
дг0~дг0 р ' дгё дГ0~ р '
Выражение под знаком интеграла представляет собою производную от
У1
1 h,
S+ Го ' 2
и уравнение траектории после приведений принимает вид
Приведем это уравнение к такому виДу, чтобы оно содержало только расстояния от движущейся точки до двух неподвижных точек О и А. Исходя из тождеств
-2 — г2 — O2
"о — P
(4)
P' -2хг0 — г0, х-г0= ¦ 2г
о
¦ Го _2У - ^ + rI + P2 1 (о + Го) (-о' + Го)
14
P 2рг о 2рг о
X -Го 2г0р + Г3 — rg — P2 _ („ _ Го) (а' + г0)
P 2рг0 2рг0
напишем уравнение
(а.+ го) (а'--Го) уГ +
р Г а + г0 2
(°-Г0) (<>' + Го) H- , 1
Г а' -4-
P ' с +Г0
h= к', (4')
где к' — новая постоянная. Это является, следовательно, уравнением траектории в биполярной системе координат с полюсами в точках О и А.
Такой вид уравнения непосредственно показывает, что траектория прог ходит через точку А, так как, освободившись от знаменателя р и положив р=0, г = г0 и, следовательно, а = а' = г0, мы, очевидно, удовлетворим этому уравнению.
На основании того, что мы знаем о движении планет, это уравнение представляет собою коническое сечение, род которого зависит только от знака постоянной h кинетической энергии (п. 227).
Чтобы вычислить время, затрачиваемое планетой для достижения какой-нибудь точки ее орбиты, достаточно написать второе из уравнений (3),
33* 488
часть третья, динамика точки
которое на основании значения W представится в виде легко вычисляемой квадратуры
"+I
ds
Vr
S+ г о
Ik
(5)
Эта формула выражает через радиусы-векторы г и р время, отсчитываемое от момента, когда планета проходит через точку А, так как в этой точке р = 0, а = а' и t —10 обращается в нуль.
В случае параболической орбиты h равно нулю (п. 227). Тогда получается формула, установленная Эйлером, но часто несправедливо приписываемая Ламберту. В этом случае
Г - Г - -1
t-t0 = -^= j (s+ro)2 Л = L(a + ro)2 -(a' -t-го)2!
Ot
u. 1 v7 с-«= с+? + *>>'-с-? +
Эта формула определяет время, затрачиваемое точкой для перехода из положения А в положение М, выраженное в функции радиусов-векторов г0 и г точек А и M и хорды AM = р.
Следует заметить, что в этой формуле перед вторым корнем надо сохранять знак минус до тех пор, пока корень не обратится в нуль, т. е. до тех пор, пока угол AOM остается меньше 180°, так как в треугольнике AOM сторона р может стать равной сумме двух других сторон только тогда, когда угол AOM становится равным 180°. После этого нужно изменить знак второго корня. Эта формула играет важную роль в методе Ольберса определения орбит комет (см. Тиссеран, Mecanique celeste т. I, стр. 114). В случае, когда h отлично от нуля, формула (5) после квадратуры представит собою обобщение формулы Эйлера на случай эллиптических и гиперболических орбит, данное впервые Гауссом. (См. Якоби, Vorlesungen uber Dynamik, лекция 25.)
305. Геодезические линии поверхностей Лнувнлля. Приложение к эллипсоиду. Лиувилль заметил, что можно при помощи квадратур найти геодезические линии поверхностей, для которых квадрат линейного элемента, при подходящем выборе параметров qі и qb может быть представлен в форме
ds2 = (A1 - A2) (B1 dq* - B2 dq%
где A1 и B1 зависят только от ?1, a A2 и B2—только от q2. Чтобы получить геодезические линии, достаточно найти траектории материальной точки массы 1, движущейся по поверхности и не подверженной действию никакой силы. Тогда
T = 1 (A1 - A2) (ВіЯі - в/2), P1 = (^1 - Л2) B^q1, р2 = - (A1 - A2) B2q2, глава xv. ПРИнЦиП ДАЛАМБера нАИМенЬШЕГО ДЕЙСТВия 489
Уравнение Якоби, если в нем положить V= — ht + W, будет, следовательно,
