Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Это явление получило название эффекта фононного увлечения (phonon drag).
Наиболее интересные явления наблюдаются при фононном увлечении в полупроводниках. В 1953 г. Фредериксе и независимо от него Джебл наблюдали значительное увеличение термоэдс сс в р-германии при понижении температуры, не предсказываемое обычной теорией.
Херринг и Фредериксе правильно интерпретировали это явление как эффект фононного увлечения дырок в германии. В самом деле, градиент температуры вызывает поток фононов, движущихся от горячего конца образца к холодному, который увлекает за собой носители тока, вызывая тем самым увеличение термоэлектрического тока. Как мы увидим ниже, для правильной оценки величины эффекта увлечения надо учесть, что электроны при рассеянии на акустических колебаниях из-за выполнения законов сохранения могут взаимодействовать только с фононами, волновой вектор которых q порядка волнового вектора электрона k. Поэтому время релаксации фононов, входящее в формулы для фононного увлечения, не совпадает со временем релаксации фононов, определяемым из теплопроводности решетки. Мы рассмотрим теорию фононного увлечения в полупроводниках с одним сортом носителей тока в отсутствие вырождения и в предположении простой зонной структуры (2.13).
2. Количественная теория фононного увлечения основана на кинетическом уравнении1). Как мы увидим ниже, эффект фононного увлечения связан, в некотором смысле, с неупругостью рассеяния электронов на акустических колебаниях, которым мы обычно пренебрегаем. Таким образом, при определении (idf/dt)ст мы должны исходить из общего выражения (VI11.2.7)
[¦^P-\T=^{W(k',k)f(k')-W(k, k')f{k)}. (10.1)
w
Мы не учитываем принцип Паули, так как рассматриваем электроны в невырожденном состоянии. W(k,k') — вероятность перехода из состояния k в k'.
Из закона сохранения волнового вектора при взаимодействии с фононом следует
k'=k±q, (10.2)
если не учитывать процессов переброса. Здесь знак плюс соответствует поглощению, знак минус — испусканию фонона. В соответствии с этим под знаком суммы в (10.1) получим четыре
Ниже мы следуем способу изложения, предложенному Ю. Н. Образцовым. J 10]
ЭФФЕКТ «ФОНОННОГО УВЛЕЧЕНИЯ»
559
слагаемых
[т]СІ =E^" k)f& + <l) + w+(b-V, k)f(k-q)~
-W+(k,k + q)f(k)-W~(k,k-q)f(k)}, (10.3)
где W+ и W~ — вероятности поглощения и испускания акустических фононов; так что, например, W~(k-\-q, k) — вероятность перехода k-\-q—в результате испускания фонона с волновым вектором q.
Используя (VIII.3.11а) —(VIII.3.11в), запишем (10.3) в виде (?)ст = E ш № V (k+q){Nq + \)b (є*-є*+9 + ft(og) +
+ f{k — q) Nqb (8ft— Sk-q — Шд)~ f (k) Ngb (ei + q — Sk-^(Oq)—
-f (k) (Nq + 1)6 (e*_9-e* + Ao)9)}. (10.4)
Меняя при суммировании во втором и четвертом членах q на —q и используя четность б-функции, получим
(I)сх = E ш № ^+ ^) +1)-/ (*) Я,] б (eu+q-ek-fl<oq) +
+ [f(k + q)N-q-f(k)(N-q+l)]o(ell+q-ek + fmq)}. (10.5)
До настоящего времени мы всегда предполагали, что распределение фононов равновесно и в этом случае N^q = Nq. Положим в неравновесном случае
Nq = N{q0) + Nq, (10.6)
где iVg0) — равновесная функция распределения фононов.
Как мы сейчас покажем, неравновесная добавка к фононной функции распределения удовлетворяет условию
Niq = -Nq. (10.6а)
Неравновесная добавка Nq определяется из уравнений
^ — ^ (10.7)
V dt
dt /сх Тф
dt
+ {Чг) =°> (10-7а)
1 \ 01 /ст
где Тф(^) — время релаксации для длинноволновых продольных акустических фононов, а полевой член
= (10.76) 560 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Здесь Vg—групповая скорость длинноволновых фононов, равная V0 Y , где V0 — скорость продольных звуковых волн, а
dNw ъ
VrN^ = -I-VT=-P-VT, (10.7b)
dJ Hv0 q
так как для длинноволновых фононов Ni^ да .
n>v0q
Из (10.7а) —(10.7в) получим
<108>
откуда следует (10.6а).
Исследования Херринга по теплопроводности кристаллов, на которых мы останавливаться не можем, показали, что если учесть упругую анизотропию кристаллов, устраняющую расходимость в теплопроводности при q—+ 0, то для продольных длинноволновых фононов в кристаллах кубической симметрии время релаксации для взаимодействия с другими фононами
Ч(Я) = UAlT3q*. (10.9)
При этом учет упругой анизотропии кристалла позволяет ограничиться трехфононными столкновениями.
Если мы положим в (10.5) Z(Af) и Nq равными их равновесным значениям, то 2 { } = 0. Раньше всегда предполагалось,
что Nq = N{q\ но
/(*) = /оЫ + М*). (10.10)
где Z1(Af)=^O, и определялось (df/dt)CT, которое при существовании времени релаксации оказывалось пропорциональным Z1(Af). Подставляя в (10.5) выражения (10.10) и (10.6), получим наряду с обычным членом, пропорциональным Zi W» дополнительное слагаемое за счет того, что Nq^ 0, которое обусловливает эффект фононного увлечения. Для сохранения во всех членах одного порядка малости мы можем в члене фононного увлечения положить функции распределения электронов равными их равновесным значениям.
