Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
таким образом, хс/^Уе/Т. Длина свободного пробега электрона тепловой энергии е = т*и2/2 = 3/2й0Г равна
Если эффективная масса электрона m*=m— массе свободного электрона, то fa/me2—радиус боровской орбиты и длина свободного пробега / порядка постоянной решетки: в этом случае выражение (6.7) неприменимо, оно применимо только в случае большего отношения е*/т*.
Б. Низкие температуры: k0T ^twl или k<^.k0. В этом случае практически имеют место только процессы поглощения фононов и, согласно (6.3),
qmin = VP + %-k ($ = 0), q„ax = VkЧ^ + к ($ = л). (6.8)
При низких температурах рассеяние электронов неупруго, поэтому вводить время релаксации по формуле (4.9), вообще говоря, нельзя. Однако, как было показано (Б. И. Давыдов и И. М. Шмушкевич, 1940), и в случае низких температур время релаксации может быть введено посредством некоторой корректной схемы расчета. §6] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ 483
Качественно это можно понять следующим образом. При низких температурах, когда k„T ^iuolt подавляющее большинство электронов могут только поглощать фононы. При таком поглощении фонона электрон переходит в энергетический интервал от Uml до 2Kdil. Такой электрон почти мгновенно испустит фонон, так как отношение вероятности испускания к вероятности поглощения, согласно (6.1), равно NgM ' ехр|^-^> 1. В резуль-
Nq RqI
тате такого поглощения и почти мгновенного испускания фонона энергия электрона изменится очень мало (только за счет зависимости со, от q), а его волновой вектор — значительно. Это позволяет в некотором смысле рассматривать рассеяние электрона как упругое и ввести время релаксации
Вычислим время релаксации т по формуле (4.4), учитывая в ней справа только первую сумму, соответствующую поглощению фонона.
Дельта-функция, входящая в Wt, v имеет вид
•(&-!м
Проводя выкладки, аналогичные тем, которые привели к выражению (4.9), получим
''max
Т = ІЙ I u>{q)Nqq^q*dq. (6.10)
''min
Подставляя сюда (6.1а) и (6.8) и учитывая, что при низких температурах
Ng = <NgyV3BH =-j-«ехр(—j^), (6.11)
получим
T- to-{2kv k + feS-feOlgj • (6-12)
Вынося из фигурной скобки kl и разлагая оставшееся выражение в ряд по отношению k/k0<S.l, убедимся, что первый отличный от нуля член порядка (k/k0)3, так что фигурная скобка равна
iUk3Ik0. (6.12а)
Из (6.12) и (6.12а) получим для времени релаксации электрона (дырки) проводимости в ионном кристалле при низких 484 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ
[ГЛ. VIII
температурах:
, tiOi
3/2 exp^T
2 ег(„.)і/» (йо,)!/« ' (6ЛЗ)
таким образом, тс/зехр(ImJk0T) и не зависит от энергии электрона. Длина свободного пробега электрона тепловой энергии е = (mi>2/2) =»/, равна
З У~6 fk^Tyn _ A2
Здесь h2/m*e—радиус «эффективной» боровской орбиты; благодаря большому множителю ехр (fmJk0T) I много больше постоянной решетки и выражение для времени релаксации т (6.13), вообще говоря, применимо при низких температурах.
2. В пьезоэлектрических полупроводниках (гл. III, § 1, п. 3), например в цинковой обманке ZnS рассеяние электронов проводимости на акустических колебаниях может быть сравнимо с рассеянием на оптических колебаниях, рассмотренных в предыдущем пункте этого параграфа. Это связано с тем, что в пьезо-электриках длинные акустические волны (вызывающие упругие напряжения) связаны с электрической поляризацией кристалла.
Впервые пьезоэлектрическое рассеяние на акустических колебаниях было рассмотрено Мейнром и Полдером 1J. Мы изложим некоторые их результаты в упрощенном виде, достаточном для определения зависимости времени релаксации электрона т от его энергии e = ft2k2/2m и температуры Т.
Пьезоэлектрики — ионные решетки, не обладающие центром инверсии (симметрии). Смещения положительных и отрицательных ионов (ft= 1,2) в этом случае, как следует из (III.6.4а), в континуальном приближении равны
ttk ^ = ушгк
¦Е Iе/ k ІЯ) aj (Q) e>qr-\-e% (Q) (Q) e~lqr\, (6.14)
4' і
где суммирование по q ведется по половине зоны Бриллюэна. Дипольный момент, возникающий при колебаниях в элементарной ячейке объема Q0, равен геометрической сумме смещений ионов, умноженных на их эффективные заряды ±е*.
Как мы увидим ниже, нас будут интересовать только длинные акустические волны, для которых можно считать вектор q одинаковым для обоих ионов ячейки. Вектор поляризации P(г), равный дипольному моменту единицы объема, может быть записан в виде
J) Meijer H., Polder D.— Physica, 1953, v. 19, p. 255. §6]
РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ В ИОННЫХ КРИСТАЛЛАХ 485
где к.с. означает величину комплексно-сопряженную первому слагаемому.
Поляризация (6.15) обусловливает распределенный в пространстве связанный заряд р =— div P(г)1), являющийся источником электрического поля, потенциал которого Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
V2O = —4яр = 4я div P (г) =
4ле* 1 Bji
Qn
V N
чі
Є/2
Vm1 Vmi
J±r)aj(q)ei4r + к. с. (6.16)
Поступая совершенно аналогично тому, как мы решали уравнение (V.4.41), получим
1 ^TTn X{Qlhj) а*{q) eiqr+K~ (6Л7)
