Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
[ГЛ. VIII
В соответствии со сказанным выше, положим
" = y=f S' еяі \a^iqr +a V"l9f}. (3-1)
где введены обозначения (q)=eqjVL а,- (q)==aq;. Согласно (III.6.2)
(eq,eqr) = 6}r. (3.2)
Гипотеза деформируемых ионов заключается в предположении, что потенциальная энергия электрона в точке г, равная до деформации кристалла V (г), после деформации переносится в точку г+ и, где потенциальная энергия до деформации равнялась У (г+ и). Таким образом, изменение потенциальной энергии электрона в точке г+ а в линейном приближении по и равно1)
U= AV = V (г)—V(r + «) = -(grad Vu). (3.3)
Мы разложили функцию У (г+ и) в ряд по смещению и(их, иу, и2) и ограничились первым членом разложения. В (3.3) вместо и может быть подставлено выражение (3.1).
Для определения времени релаксации по формуле (2.12) надо знать вероятность перехода W(k,k'), которую мы вычислим, пользуясь теорией квантовых переходов Дирака (см. Приложение 20).
Рассмотрим систему, состоящую из электрона в периодическом поле и нормальных колебаний решетки. Волновая функция системы в нулевом приближении, т. е. без учета взаимодействия (3.3), равна произведению блоховской волновой функции электрона в идеальном кристалле (IV.3.5) и осцилляторных волновых функций (II 1.10.46), т. е.
^Nqi=? (Г) п ^Ngj (Q4I) = YYu" С)eikr п ^Ngj (Qqi), (3.4)
где N = G3—число атомов в основной области. Ввиду наличия у блоховской волновой функции множителя Af-1/2
J I Mr) Nr0 = I1 (3.4а)
где интегрирование ведется по объему элементарной ячейки кристалла (IV.3.6).
Эта величина совпадает в линейном приближении по а с изменением потенциальной энергии электрона в точке г. §3] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ 469
Разложим возмущенную волновую функцию 1F (t) по полной системе1) невозмущенных функций (3.4):
1F(0 = Ea ОYiVw-X
Ь'М' 41 4
в " яі
Xexp / —1T 1 %
ЕА- + E f^+4-1 ACBJ Л, (3.5)
2
яі "
I
где a(k', N'qj,t)— неизвестные коэффициенты разложения2) и
Eft' +E (^9/+4) htoqj =Sk', N'qj (3.5a)
яі
есть энергия невозмущенной системы, равная сумме энергий электрона и всех нормальных колебаний. Если в начальный момент і = 0 электрон находился в состоянии к, а нормальные колебания характеризовались квантовыми числами Nqj, то
( 1 при к' =к и N1ni = Nqi, a [k', Nqh 0) = { л яі ч" (3 6)
4 41 ' ( 0 во всех остальных случаях. v
Из общей теории имеем3) , da (к', N',, t) ,
itl К Htqr ' = Ot', N. I AV I к, Nqjy X
Xexpjl
t\, (3.7)
Eft' -Eft + ? (Ntqj-Nqj) Iiaqj яі
где матричный элемент перехода из состояния к, Nqj в состояние к', Nqj под действием возмущения (3.3) равен
<к', N' \ AVI к, Nqj> = 5 AVW^Nqj d3r Д <*<?,/• (3.7а)
41
Здесь интеграл берется по трем координатам электрона d3r, по основной области кристалла и по 3N нормальным координатам
JIdQ9/ колебаний. В экспоненте выражения (3.7) стоит раз-яі
ность энергий конечного и начального состояний системы.
Вычисление матричного элемента (3.7а) несколько громоздко и приведено в Приложении 21. Можно показать, что электрон взаимодействует только с одной продольной ветвью колебаний, для которой eqj параллельно q4). Вычисление показывает, что
1J Строго говоря, полная система электронных волновых функций включает состояния, относящиеся и к другим энергетическим зонам; однако в исследуемых нами процессах рассеяния их «примесь» практически равна нулю.
2) Экспоненциальные множители в (3.5) выделены для удобства.
3) Шифф Л., Квантовая механика.— M.: ИЛ, 1957, § 29.
4) В дальнейшем мы для простоты опускаем индекс поляризации /. 470 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
матричный элемент (3.7а) отличен от нуля, т. е. переходы системы к, Nqj—+k', N'qj возможны в двух случаях:
1) волновой вектор и энергия электрона в конечном состоянии равны
k' = k + q и Bw = Zk + ^co9 , (3.8)
при этом число ^-фононов в конечном состоянии равно
Nq = Nq-1; (3.8а)
2) волновой вектор и энергия электрона в конечном состоянии равны
k' = k—Qt^ek'= Ek-ft(?>q ; (3.9)
при этом
Nq = Nq+ 1. (3.9а)
Первый процесс естественно интерпретировать как поглощение электроном одного фонона. Второй — как испускание электроном фонона. При этом как при поглощении, так и при испускании фонона имеют место законы сохранения квазиимпульса и энергии. В первом случае матричный элемент (3.7а) равен *)
Г %Nq f {3 10)
з Yn V 2мсо? во втором случае— _
+ * Cgr,/ lHi+11 . (3.10а)
з YN У 2Maq '
Здесь
с=Ih І §rad "а 1мзг» <зл°б)
и интегрирование ведется по объему элементарной ячейки кристалла. Постоянная С, имеющая размерность энергии, характеризует интенсивность взаимодействия электрона с колебаниями решетки. Для того чтобы оценить порядок величины С, положим [ grad ик I ик/а, где а — постоянная решетки, тогда по порядку величины
где .использовано (3.4а); для а« Ю-8 см С 5 эв, т. е. порядка атомной энергии. Согласно общей теории (Приложение 20) вероятность перехода в 1 сек
W(k, к') = W (к, k±q) =
!) Дополнительный множитель 1/ Ym, по сравнению с (П.21.3), связан с выражением для а (3.1). $4]
