Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть п — средняя (равномерная) концентрация свободных электронов в кристалле, а п'(г)—их концентрация в поле примесного иона. Если ф — потенциал электрического поля, создаваемый точечным положительным зарядом иона -\-е, помещенного в начале координат, и отрицательным зарядом избытка электронов —е(п'—п), то уравнение Пуассона имеет вид
V^p=A/z'-n), .(7.1)
fce
где е0—диэлектрическая постоянная и
Iim ф = е/г0г, (7.1а)
г - О
так как в начале координат помещен заряд -j-e. S7] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА АТОМАХ ПРИМЕСЕЙ 489
Согласно (VI.2.5)
Где W1/2 (2)—интеграл Ферми (VI.2.6) индекса V2. a Z = Hk0T (?—химический потенциал). Если поле ср меняется плавно (гл. V, § 1), то потенциальная энергия электрона (—еср) добавляется к его энергии е = ^ki/2т* в функции распределения, так что
/о =
-P (i^Fi) + 1
(7.3)
Последнее эквивалентно тому, что мы ? заменяем ? + еф, поэтому
»'=i5Ssg^ с+«). (7-4)
где u=e<p/k0T.
Если еф<^? (что иногда выполняется плохо), то можно разложить (7.4) в ряд по степеням и и ограничиться первым членом, тогда
= (7.5)
где
& 1/2 (г)= Qi
Подставляя это в (7.1), получим
?2Ф = <?аФ. (7.6)
где
_.4 Vr 2 е*т*3'2 (KT)1'2 f Z \ /7fiQv
q ----ф-Гі/2 [W) ¦ (7-6а>
Решение уравнения (7.6), обладающего сферической симметрией и удовлетворяющего условию (7.1а), имеет вид
— (7-66)
В этом можно непосредственно убедиться, подставляя (7.66) в (7.6) и учитывая, что в сферически симметричном случае
^-т!-і ("¦?)•
При r&l/q = rt потенциал <р, согласно (7,66), заметно (в є раз) уменьшается, поэтому г0 называется радиусом экранирования.
Определим г0 в случаях слабого и сильного вырождения свободных электронов. 490 КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ И ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ [ГЛ. VIII
А. Невырожденные электроны (гл. VI, § 2.3).
В этом случае
00 _
= (7.7)
о
= 4^nh*,,. (7.7а)
Из (7.6а) и (7.7) следует, что радиус экранирования
= I-YWn (7.8)
совпадает с дебаевским радиусом (VI.7.4а). Записывая (7.8) в виде
T= /Sfc- (7-8а>
где d = n~l/3—среднее расстояние между электронами, видим, что по порядку величины отношение r0/d равно квадратному корню из отношения тепловой энергии электрона к кулоновской энергии взаимодействия пары электронов, разделенных расстоянием d.
Б. Вырожденные электроны (гл. VI, § 2, п. 2).
В этом случае
F'(z)==zi/.=-пк-ҐЩ1». (7.9)
1/2 V ' (2т%Т)1/2 \ я J К '
Подставляя (7.9) в (7.6а), получим для радиуса экранирования
80&2 ( Л \ 1/3 1/а
4m*e2 V Зп
J - (7-Ю)
В этом случае радиус экранирования по порядку величины определяется из условия
A2 Pi
4h> (7.11)
2т*гй
т. е. квантовая энергия электрона в области с линейными размерами г0 порядка энергии кулоновского взаимодействия электронов, находящихся на среднем расстоянии друг от друга d. 2. Согласно (1.23а) время релаксации
^ = 2яvn7fj а (Э) (1 — cos 0) sin 0 dO, (7.12)
где V—скорость электрона, а (Э)—дифференциальное сечение рассеяния и rij—концентрация ионов примеси.
Для определения о (Э) мы воспользуемся приближением Борна 1J квантовомеханической теории рассеяния. В методе Борна элект-
1) Блохинцев Д. И., § 78. S7] РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ НА АТОМАХ ПРИМЕСЕЙ 491
рон рассматривается как свободный и рассеяние трактуется как малое возмущение. Это означает, что метод Борна применим только к достаточно быстрым электронам. При рассеянии на потенциале вида (7.66) волновой вектор свободного электрона k меняется на величину порядка q, поэтому метод Борна применим только в случае q<^k. Легко видеть, что для электронов с энергией ^ki/2т* да кйТ и q, определяемым равенствами (7.8) или (7.10), метод Борна применим только при достаточно высоких температурах.
Нетрудно показать, что в борновском приближении сечение рассеяния на потенциале (7.66) равно1)
а (6) =
Є2/Є0
mV (!-cos в)+^
(7.13)
При <7 = 0 потенциал (7.66) переходит в чисто кулоновский и сечение (7.13) — в формулу Резерфорда (1.20). Подставляя (7.13) в (7.12), вводя в интеграле новую переменную интегрирования / = cos0 (dt =— sin0 dQ), получим в результате элементарного интегрирования
ejW _ V 2т» ege3/2
Т — 2яв4Л/Ф(Г]) — JK4Zly Ф(Г))
где энергия є = m*v2/2, а
(7.14)
Ф (т]) = 1п(1 +4)-7?- (7Л4а)
— медленно меняющаяся функция аргумента
ті = im*'v2l%2q2 = 8m*e/fcq2. (7.146)
Ввиду медленного изменения функции Ф(т)) можно с достаточной степенью точности считать, что tcv3 6s/2, как это имело место и в формуле Конвелл — Вайскопфа (1.25).
3. Рассеяние носителей тока на нейтральных атомах примеси может приближенно рассматриваться как рассеяние медленных электронов с массой т* на атоме водорода, погруженного в среду с диэлектрической постоянной e0 2).
Если скорость рассеиваемых электронов мала, то рассеяние сферически симметрично, и ? квантовомеханических формулах теории рассеяния достаточно учесть только нулевую фазу. Если учитывать эффекты электронного обмена и поляризации рассеивающего атома, то расчет сечения может быть проведен только
