Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Наличие удвоений усложняет общую картину динамических свойств системы при вариации параметров, так как реально наблюдаемы только тс переходы, которые сопровождаются сменой устойчивых режимов. Однако именно указанная сложность позволяет мысленно представить себе возможные варианты смены режимов в реальном генераторе при изменении параметра. Так, если двигаться по параметру m из нуля в плоскости g = ?о> то в точке В 1-тактный цикл теряется, система переходит в режим 2-тактных колебаний, чему соответствует выход на поверхность S0 (рис 7.12). Явления гистерезиса по отношению к циклу T0 не будет, так как удвоение произойдет раньше. Взаиморасположение точек бифуркаций В. F, Си D в различных сечениях по параметру g будет меняться, в связи с чем конкретная последовательность в смене режимов колебаний и гистерезис могут зависеть от выбора сечения.
В случае когда реализуется каскад накапливающихся бифуркаций удвоения, геометрическое изображение типа рис. 7.12 практически затруднено. Более наглядно построение зависимости амплитуд устойчивых циклов от параметра - так называемое бифуркационное дерево ветвления амплитуд, которое получается, если вычислять амплитуды устойчивых циклов в функции лишь одного параметра. Эволюция амплитуд колебательных режимов на первом этапе удвоений в сечении g - g0 видна на рис. 7.12. ГЛАВА 8
ДИНАМИКА МОДИФИЦИРОВАННОГО ГЕНЕРАТОРА С ИНЕРЦИОННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ В РЕЖИМЕ АВТОНОМНЫХ КОЛЕБАНИЙ
8.1. Двупараметрический анализ перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода
Бифуркационная диаграмма для семейства 1-тактных циклов (рис. 7.8) содержит три характерные бифуркационные линии, отвечающие определенному типу потери устойчивости. Исследуем роль этих бифуркаций в обшей картине смены колебательных режимов генератора (7.38) и взаимосвязь между типом потери устойчивости и механизмами рождения и свойствами аттракторов системы. Начнем с выяснения роли бифуркаций удвоения.
Общий анализ структуры вложения бифуркационных диаграмм циклов периода 2*Г0*) свидетельствует, как указывалось, об увеличении числа семейства циклов при каждом удвоении в 2 раза. Проанализируем бифуркации удвоения периода применительно к семействам циклов, бифуркационные диаграммы которых лежат ближе к линии рождения цикла T0 "і 3O-B этом случае можно ожидать последовательность мягко рождающихся циклов удвоенного периода. Проведем численный эксперимент по однопараметрическому изучению последовательности бифуркационных значений параметра цк, отвечающих точкам бифуркаций удвоения периода циклов 2*Г0- Выберем два направления движения по плоскости параметров: фиксируя g =0,3, обеспечим движение по параметру т, а при т = = 1,45 - движение по параметру g. Будем вычислять бифуркационные значения параметров цк. при которых мультипликатор цикла периода 2*7о обращается в -1. Значения параметров тк и gk определялись с погрешностью є = IO"6 и для к <4 сведены в табл. 8.1 (176].
Значения постоянной Фейгенбаума Sk и критических точек в табл. 8.1 рассчитывались по асимптотическим соотношениям (5.7) и (5.18). Полученные данные свидетельствуют о том, что при движении в плоскости параметров как по да, так и по g имеет место сходящаяся последовательность бифуркаций удвоения периода, подчиняющаяся закону Фейгенбаума.
Значение периода не следует понимать буквально, так как T0 = Т„(т. g). Дли дифференциальных систем равенстпо Tk - 2 Ta в отличие от отображений в общем случае не выполняется и отражает главным образом топологию траекторий.
153 Г a ft л и и а С. 1
Бифуркационные значения параметров тк, gk, постоянная Фейгеибаума Ьк и критические точки при удвоениях в системе (7.38) (расчет иа ЭВМ)
Jf = 0.3
т -- 1.45
тк J ^zi: Як T Sk •f -—- * S
0.7700 і 0.1200 -
1,0200 - 1.0880 0.16898 - 0.18233
1.0713 4.873 1.0S53 0.18162 3.876 0,18506
1.08216 4,724 1.08511 0.18438 4.S82 0.18513
1.08449 4.66896 1.08512 0.18497 4.66836 0.18513
Для двунараметрических систем переходу к странному аттрактору через удвоения на плоскости параметров должна отвечать бифуркационная линия критических значений коразмерности 1. Эту линию можно построить, применяя описанный выше однопараметрический подход. Другой способ, существенно экономящий машинное время, состоит в расчете линии на плоскости параметров, отвечающей критическому значению мультишшка-юра цикла 2*Г0. к > 1, р* = -1,60119. . . (см. (5.21) и табл. 51). С необходимой для практических целей точностью достаточно взять к = 2, т.е. ограничиться расчетом мультипликатора четырехтактного цикла*). Рассчитанная указанным способом линия критических значений параметров нанесена на рис. 7.11 штрихом.
Проведенный анализ динамики системы (7.38) в ходе эволюции ее к стохастичности через серию бифуркаций удвоения периода основного семейства циклов подсказывает сравнительно редкую возможность экспериментально не только качественно, но и количественно проверить выводы, полученные численно. Действительно, при малых т и конечных g цикл Г0 является единственным мягко рождающимся из особой точки в нуле предельным циклом системы (7.38). Каждый последующий цикл удвоенного периода мягко рождается из предыдущего в точках бифуркации mk<g к И является УСТОЙЧИВЫМ.
