Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
которые заменой переменных (22)
ех е/ х*\ y/ot .---,
у * -=-. Z = -I OU--- ), г =--. е - (У/Г- 1)-' (7.10)
у/2о о\ 2/ е
сводятся к системе
У + ehy + г3 + (г - l)v =» 0, j j
г = -eaz + е/Зу2. где А ¦ (1 + оУу/о, а = b/y/o, ? = (2а ~ Ah/o.
Замена переменных (7.10) предложена В.Н. Юдовичем с целью аналитического исследования асимптотического поведения системы Лоренца при больших значениях г. что соответствует малому параметру е в уравнениях (7.11). Перечень подобных примеров можно продолжить, включив в него уравнения модели химической реакции Белоусова - Жа-ботинского и другие уравнения химической кинетики, в которых обнаружены режимы хаотических колебаний. Отметим, что в форме (7.2) можно записать и уравнения генератора с инерционной нелинейностью.
Общая форма записи трехмерных динамических систем в виде (7.2) не вскрывает в деталях возможные принципиальные с физической точки зрения различия конкретных систем, такие, как способ возбуждения колебаний. возможность генерирования двухчаспнных колебаний, хаотических колебаний и пр. При необходимости м;жно вводить в рассмотрение некоторые подклассы систем, удовлетворяющих (7.2). но отличающихся по некоторым признакам в связи с конкретными ограничениями на явный вил функции Fi (.х, х, ц) в (7.2).
В частности, выделяют два подкласса генерирующих систсм, удовлетворяющие в общем виде ураннениям (7.2). но отличающихся механизмами возбуждения колебаний. В нервом подклассе возбуждение авто колебаний осуществляется блатдаря компенсации собственных потерь отрицательным трением при положительной обратной связи. Ко второму подклассу систем относят генераторы, представляющие собой нското-
138 pi,їй диссимативный контур, параметрически возбуждаемый за счет инер-!!поыного воздействия усиленного сигнала с контура на элементы самого контура. Примером такого генератора является модель Лоренца в форме регулируемого .маятника (7.11), в котором возбуждение автоколебании осуществляется благодаря самосогласованному параметрическому воздействию на нелинейную емкость диссипативного контура. Общая йлок-схема второго подкласса генераторов изображена на рис. 7.2. Различия с блок-схемой рис. 7.1 очевидны. Второму подклассу инерционных генераторов принадлежат многие реальные колебательные системы
Селективный усилитель Инерционный
элемент X У преобразователь г
Рис 7.2. Структурная схема инерционного управления колебательной системой и генераторах с параметрическим внібужценисм
тина электромеханических вибраторов, резонатора Гельмгольца. некоторых химических и биологических систем [11. 19. 179. 180].
Однако указанное разделение автоколебательных систем по типу самовозбуждения колебаний может быть не принципиально с точки зрения общих механизмов перехода к стохастичности. Возникнув с физической точки зрения но-разному, автоколебания с ростом управляющего параметра могут претерпевать полностью идентичные бифуркационные переходы к хаосу. Поэтому анализ рождения стохастичности нуждается в другой классификации систем, отражающей принципиальное сходство и отличие именно в механизмах развития странных аттракторов в генераторах с 1 .S степенями свободы.
Обратимся к примерам (7.4)-(7.11) и отметим, что в олних моделях дивергенция векторного поля зависит от фазовых координат, а в других является постоянной отрицательной величиной. Для динамических систем с трехмерным фазовым пространством в первом случае возможны биения, во втором - нет, к после.'шее утверждение строго обосновано. В трехмерных системах с переменной дивергенцией не исключено существование двумерного тора, а значит и возможность перехода к хаосу через квазипериодическис колебания. В трехмерных системах с постоянной отрицательной дивергенцией этот механизм не реализуется. Системы могут отличаться числом особых точек, в которых вектор фазовой скорости потока обращается в нуль. Особые точки определяют топологию предельных множеств в фазовом пространстве системы, и это важное обстоятельство должно учитываться при классификации.
Теоретические результаты, позволяющие по виду уравнений системы строго предсказать наличие динамического хаоса и указать механизмы его развития и структуру, к сожалению, отсутствуют даже для простейшего случая Л' = 3.
139 7.2. Формулировка уравнений модифицированного генератора, с инерционной нелинейностью
Классический генератор с инерционной нелинейностью был предложен и описан К.Ф. Теодорчиком [181]. Автоколебания в системе обеспечиваются введением в колебательный контур термосонротивления R (T), свойства которого нелинейным и инерционным образом зависят от протекающего через него тока. Схема генератора с инерционной нелинейностью
Рис. 7.3. Классическая схема генератора с HHtrpmiOiHiOft нелинейностью
К.Ф. Теодорчика изображена на рис. 7.3. Уравнения для тока i(t) в контуре имеют вид
4 л «е. - Л асу ^l.- - 0.
dt2 I L LC J dt I дТ dt J
(7.12)
где Sо - крутизна характеристики усилителя, который предполагается линейным, M - взаимная индуктивность цепи обратной связи, R(T) -сопротивление термистора, зависящее от температуры Т, L и С - индуктивность и емкость в колебательном контуре. Полагая зависимость R (T) линейной:
