Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
^x1 _ P (x1, x2) _ x1 — k<f' (x2) x2
dx2 Q (хь х2) х2 — ^tp1(X1)X1 '
получаемому из уравнений (10.686), можно убедиться, что система уравнений (10.686) не допускает непрерывных периодических решений, так как выражение
дР , dQ _ . . дхі ' дх2 ~ "Tz '
т. е. всюду положительно.
Характеристическое уравнение для единственного состояния равновесия (х = 0, _у = 0) имеет вид:
(1 — A«)Xа + 2Х -J- 1 =0,
так как в силу определения безразмерной характеристики лампы срг(0)=1. При \ это состояние равновесия устойчиво (устойчивый узел), и к нему, как нетрудно видеть, стремятся (при все фазовые траектории. Иначе говоря, мультивибратор при любых начальных условиях приходит к состоянию равновесия и не может совершать никаких автоколебаний.
Поэтому ниже мы будем рассматривать только случай
когда единственное состояние равновесия неустойчиво (седло) и мультивибратор самовозбуждается. Но при на плоскости X1, Xi, очевидно, существует такое множество точек, в которых выполняется равенство
AY(X1)Cpr(X2)-I=O; (10.69)
это множество точек образует некоторую непрерывную кривую Г, замкнутую и симметричную относительно биссектрис и координатных осей плоскости XljX2. На этой кривой Г X1 и X2 обращаются в бесконечность, причем существенно, что точки части этой кривой являются точками стыка фазовых траекторий уравнений (10.686), и в них уравнения (10.686), составленные при пренебрежении паразитными параметрами схемы, не дают возможности продолжения решения. Та- §' 13] симметричный мультивибратор
849
ким образом, пренебрегая паразитными параметрами, мы опять приходим к «дефектной» динамической модели, уравнения которой не позволяют проследить за поведением мультивибратора (очевидно, из-за того, что при составлении этих уравнений были отброшены среди паразитных параметров параметры, существенные для колебательных процессов в мультивибраторе).
2. Скачки напряжений Ui, Ui. Покажем, учитывая малые паразитные емкости Ca и Cg (они изображены на рис. 578 пунктиром), что мультивибратор будет совершать при ?^>1 разрывные колебания [61].
Уравнения колебаний мультивибратора при учете малых паразитных емкостей Ca и Cg (но при прежних остальных упрощающих предположениях) в безразмерных переменных, введенных выше, могут быть записаны в виде следующей системы дифференциальных уравнений четвертого порядка:
IXAT1 = — AT1 — Acp (X2) = Fi (Xil х.г, JZ1Jj [XXi = -Jz2 _х2 — ?ср (X1) = Fi (х1г Xi, jz2); JZAT], JZi Xi,
где
Rq
(10.70)
['+t-l
Ca -J- Cg С
— малый положительный параметр, характеризующий малость паразитных емкостей Ca и Cg по сравнению с емкостью С. Вывод уравнений колебаний мультивибратора при учете паразитных емкостей Ca и Cg и приведение этих уравнений к безразмерной форме мы опускаем, так как связанные с этим выкладки полностью аналогичны выкладкам, проделанным в § 5 настоящей главы при выводе уравнений (10.26). Уравнения (10.70) написаны сразу для случая достаточно малых значений емкостей Ca и Cg (Са, Cg С).
Рассмотрим в общих чертах предельное (при р, ->- -j- 0) разбиение четырехмерного фазового пространства X1, х2, Jz1, jz2 на фазовые траектории системы уравнений (10.70). Выделим в этом пространстве поверхность F:
—УI = X1 -J- А ср (х2), — J^ = X2-J-Acp(X1)
— фазовую поверхность «вырожденной» системы (с jx=0); эта поверхность, очевидно, гомеоморфна координатной плоскости X1, х2, т. е. точки поверхности F И ПЛОСКОСТИ X1, X2 соответствуют друг другу взаимно однозначно и непрерывно. В каждой точке (X1, х.2, Уі, Jz2) четырехмерного фазового пространства вне этой поверхности F при р, ->- -J- 0 Xj-vco, X2-Vco, a Jz1 Hjz3 остаются конечными; поэтому 850
разрывны?. колебания
[гл. x
в пределе, при [X ->¦-)- 0, все фазовое пространство вне поверхности F заполнено фазовыми траекториями, лежащими в плоскостях
У и У і = const.
ГІо этим траекториям изображающая точка двигается «скачком» (со сколь угодно большой скоростью изменения переменных jc1 и jc2 при достаточно малых ja), что соответствует «быстрым» (тем более быстрым, чем меньше паразитные емкости) изменениям состояния мультивибратора, во время которых «скачком» изменяются сеточные напряжения Ui и н8, а напряжения и V1 на конденсаторах С остаются неизменными.
Для достаточно малых приближенные (асимптотические) дифференциальные уравнения траекторий «быстрых» движений, лежащих вблизи некоторой плоскости yi=y°l, (у°, const), полу-
чаются из первых двух уравнений (10.70) заменой в них переменных ух и _у2 на постоянные и у$:
V-Xi = —y\ — X1-Acp(X2) = F1 (X1, X). і (1071) x2 = —у\ — х.2 — А ср (х,) = Fi (x1, х2, уЧ). J
Эти уравнения, конечно, справедливы только вне малой окрестности точек пересечения плоскости yt =У], _уа =у\ и поверхности F, а их решения аппроксимируют при достаточно малых [л (и тем точнее, чем меньше \х) решения точной системы уравнений (10.70) (также вне F) только на протяжении конечных интервалов времени.
Так как
dF, . dF, = ^x1 дх2 '
то согласно критерию Бендиксона приближенные уравнения (10.71) не могут иметь замкнутых фазовых траекторий. Поэтому ход всех траекторий «быстрых» движений определяется особыми точками уравнений (10.71) и их сепаратрисами. Особыми точками уравнений (10.71), очевидно, являются точки пересечения плоскости Уі =Уі, Уч =Уг с поверхностью F, при этом точка (х1; х2, уі, у§) поверхности F — устойчивый узел приближенных уравнений (10.71), если
