Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, если начальное состояние системы (при Z = O) принадлежало множеству K0, т0 в дальнейшем (при Z^>0) система при своем движении будет проходить только через состояния, которые принадлежат множеству /C=Ar0-I-ArJ-I-ArJ' и которым (взаимно однозначно и непрерывно) соответствуют точки двулистной фазовой поверхности К, изображенной на рис. 417. Каждому такому движению системы (также взаимно однозначно и непрерывно) соответствует фазовая траектория на фазовой поверхности К1)- Ясно, что в силу Симметрии уравнений (8.55) и (8.55а), определяющих движения системы соответственно на листах (I) и (II), разбиения листов (I) и (II) на фазовые траектории также будут симметричными друг другу (относительно начала координат). Поэтому задача изучения динамики системы «судно-|-авторулевой с временным запаздыванием», если ограничиваться рассмотрением только тех движений, которые начинаются из состояний типа K0, сводится к исследованию точечного преобразования линии S в линию S', осуществляемого траекториями (8.58) на листе (I)a).
J) При таких движениях системы интервалы времени между перекладками руля Д<>0. Эти движения, как уже указывалось, являются частным классом движений рассматриваемой релейной системы с временным запаздыванием и представляют наибольший интерес с точки зрения практических приложений. Было бы интересным выяснение вопроса о том, какие другие движения (движения, начинающиеся из состояний, не принадлежащих множеству Ко) переходят при возрастании t в движения рассматриваемого нами класса.
а) Координаты S и S1 на линиях S и S1 должны быть выбраны так, чтобы симметричным точкам этих линий соответствовали равные значения s из'. § 7] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
595
Найдем уравнения линий 5 и Sr — линий перехода фазовых траекторий с листа (II) на лист (/) и с листа (I) на лист (II). Для определения линии S' — границы листа (/) — заметим, что 5 обращается в нуль, изменяя свой знак с положительного на отрицательный, только в точках полупрямой
? = ¦*; + Р.У = 0, 5 = *+р.у = (1-Р).у-р<0, т. е. в точках
X = — рм, у = и,
где
M<r-L при Р<1 и ПРИ P>L
Так как граница Sr листа (/) соответствует множеству состояний, в которые приходит система через интервал времени 0 после обращения $ в нуль, то мы получим уравнения этой линии из общего решения (8.58), если возьмем там за начальные точки точки полупрямой: ?=0, (х0 = — Pи, у„ = и), и положим
t=Q:
у = — 1 —]— (г/ —]— 1) е~ь, X = — ?M — 0 + (" + 00—
т. е. линия Sr является полупрямой: где
?* = ?e9_(eo__1;) | = (?_i)(e«_ 1) + 0 (8.68)
с начальной точкой ^она соответствует и = Г~р)
у =_i + _J_^> = -J!_
_Унач ~1_? 1_?*'
Полупрямая 5 симметрична полупрямой S': ее уравнением будет
= + у
и начальной точкой—точка с у = —(на полупрямой 5 ГГр' если Р*<Ь и если р*>і). Вид 596 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
двулистной фазовой поверхности рассматриваемой системы в зависимости от знаков а* и ?* приведен на рис. 418—421 ').
Если ? 1, но время запаздывания 8 не слишком велико (т. е. если ? 1 — е~в) или если ? 1, то а* 0, ?* ]> 0 и изучаемая нами в этом
разделе система судно -)- двух-позиционный авторулевой с временным запаздыванием (и с коррекцией по скорости) имеет ту же динамику (те же движения), что и судно с авторулевым, обладающим некоторыми эквивалентными пространственным запаздыванием а* и коррекцией по скорости ?*. Этот случай полностью сводится к рассмотренному в первом разделе параграфа: все движения системы (начинающиеся из состояний типа Л"0) приводят к установлению автоколебаний курса, амплитуда и период которых тем меньше, чем меньше запаздывание 6 и чем больше скоростная коррекция ?. При малых временах запаздывания 8 на фазовой поверхности имеются зигзагообразные фазовые траектории, идущие между близко расположенными полупрямыми S и S' и соответствующие работе авторулевого в скользящем режиме с частыми (тем более частыми, чем меньше 8) перекладками руля авторулевым с одного борта судна на другой (рис. 418 и 419)2).
') Заметим, что ?* — ? = (? — 1) (е9 — і); поэтому ?* > ? при ? > 1 и ?* < ? при ?<l. При этом при ?> 1 а* > 0, в то время как при ? < 1 и а* и ?* могут быть отрицательными величинами, если 0 достаточно велико. Именно,
?* < О при ? < 1 — и л* < 0 при ? < 1 — _j ; при увеличении 0 сначала становится отрицательным ?*, а затем а*, так что если a* sg 0, то заведомо ?* < 0.
s) При малых 0 ?* аа ? — (?—1) в Rs P и -^-=00, поэтому период автоколебаний (с точностью до членов порядка 02) 2х* = 2 ^?^40. Тот же порядок
величины имеют интервалы времени At между перекладками руля авторулевым в скользящем режиме. Амплитуда автоколебаний курса при малых 0, очевидно,
а*> 6s
равна л:^™^-= -к- (см. примечание на стр. 589).
ц. AtS V
ІЮ
z«/
hgedubHbiaS; ]¦ ¦'¦¦'.• '.¦;¦.'
Скользящий режим / Ш^у. .* *, і ', S * * ,*
Рис. 418. § 7] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ 597
При ббльших 6 ^при 1 — ^eZTI sS P <С 1 — а* Ss 0. н0 ?* < т. е. такое временное запаздывание авторулевого эквивалентно
