Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
В связи с этим, чтобы упростить задачу исследования динамики системы и свести ее к изучению точечного преобразования прямой в прямую, нам придется в дальнейшем ограничиться рассмотрением только некоторого частного класса движений системы, которым мы сможем сопоставить траектории на некоторой двулистной поверхности, выделенной из полного (функционального) фазового пространства. Обозначим через K0 множество состояний (в произвольные моменты времени ^*), удовлетворяющих условию, чтобы при t*— координата электрозолотника 5 не обращалась в нуль, и будем рассматривать ниже только те движения системы, которые начинаются из этих состояний. Состояния типа K0 (т. е. принадлежащие к множеству K0) в любые моменты времени однозначно задаются значениями лг и у в те же моменты времени, и мы будем поэтому отображать их (взаимно однозначно и непрерывно) точками (лг, у) на плоскости лг, у, из которой исключена прямая S = лг -)- ?_y = 0 (на плоскости ЛГо)3).
') Это функциональное пространство, очевидно, может быть рассматриваемо как пространство «с бесконечным числом измерений», так как функция х (t) (или Z [5 (і)]) на отрезке t" — 9 ^t ^t* может быть задана бесконечным счетным множеством коэффициентов разложения этой функции в ряд Фурье.
s) Задавая х, у (вне прямой х + ^y=O) при t=-t*, мы задаем в тот же момент времени и координату ? ф 0. Тот же знак S имело и при t* — 9 < t =? t* (в силу принадлежности состояния к множеству Kc), определяя Z [;(<)] для t* — 9 <<* s^t* (или, иначе, z(t) для t* < t ^ t* + 0), равное +1 или —1 в зависимосіи от знака Поэтому, задавая х, у при t = t*, мы полностью и однозначно определяем движение системы при t > 1*, т. е. полностью и однозначно определяем состояние системы типа Ко в момент времени t*.
Если в общем случае состояния системы задавать значениями х, у в момент t* и коэффициентами Фурье { ап, Ьп } для функции Z [; (<)] на отрезке
OO
t* - 9 SS f < t* (zm)] = ^ + 2 в» cos ^+Mn ^ при e*-e<t<t*J ,
п = 1
то множество состояний Ко является подпространством: an = bn = 0 при в=1, 2,... и ^ = -Sgn+
Заметим также, что выделение этого двумерного множества состояний Ко, черег которые система проходит при движениях некоторого типа, из полного § 7] ДВУХПОЗИЦИОННЫЙ АВТОРУЛЕВОЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
593
Пусть для определенности точки ^0), отображающие начальные состояния типа Ко (при Z = 0), лежат на полуплоскости Ко.'
0> т- е- пусть начальные значения координаты электрозолотника ^0 = $ (0) = X0 -f- P^0 0. Тогда в силу определения множества состояний Ко Е)>0 и при —0<\Zs?;O; следовательно, по крайней мере при 0<^Zs?ie, Z = — 1, и движения системы будут описываться дифференциальными уравнениями (8.55):
х=у,
У = —У— 1.
Эти уравнения будут справедливы и далее, до тех пор, пока не произойдет перекладка руля и z не изменит своего значения с — 1 на
1; если обозначить через Z1 = Z1(AT01JZ0) момент времени, в который ? обращается в нуль при движении, начинающемся при Z = O из состояния (л:0, _у0), то уравнения (8.55), очевидно, будут описывать движения системы при 0<^Z<^ Z1 О J). При этом до тех пор, пока ? не обратится в нуль, т. е. при 0<^Z<^Zb система будет проходить через состояния, принадлежащие множеству Ко> и мы можем сопоставить этим движениям системы движения изображающей точки (х, у) по фазовым траекториям (8.58) уравнения (8.55) на полуплоскости K0- Однако состояния системы при Z1 Z Z1 0 этому множеству уже не принадлежат, поскольку при Z = Z1 5 = 0. Поэтому мы будем изображать эти состояния точками некоторой дополнительной ПОЛОСЫ K1, «пришитой» K полуплоскости К'о и наложенной на полуплоскость Ко- х 0 (Рис- 417)8). Эта
дополнительная полоса K1 вместе с полуплоскостью K0 образуют лист (/) фазовой поверхности, соответствующей множеству
(функционального) пространства возможно только в силу того, что рассматриваемая нами система с временным запаздыванием является релейно« (I (Z—0) является аргументом только кусочно-постоянной функции Z, полностью определяемой знаком ?).
1) Из общего решения (8.58) уравнения (8.55) следует, что при любых (-C0. У») существует такой единственный момент времени Z1 = Z1 (дс0. >"о). чт<> при Z = Z1 ? = 0 и при Z > Z1 5 < 0.
*) Рис. 417 дан для случая 0<?<l и не слишком больших в.
Рис. 417. 694 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
состояний, через которые проходит система при движениях, начинающихся из состояний типа Ко (с S0 ^>0) и определяемых уравнениями (8.55).
При Z = Zj-|-0 (т. е. через интервал времени 0 после обращения S в нуль) произойдет перекладка руля, координата руля z становится равной —j— 1, а состояния системы вновь принадлежат множеству Ao (соответствующие изображающие точки лежат на линии S' на полуплоскости Ко). В дальнейшем, пока z = -|-l и, следовательно, справедливы дифференциальные уравнения (8.55а):
х=у,
система при своих движениях проходит через состояния, которым соответствуют точки листа (II) фазовой поверхности, симметричного листу (/) и составленного из полуплоскости Ко'. JC —j— P_V0 и дополнительной полосы К\• Через 0 единиц времени после обращения координаты электрозолотника S в нуль и смены ее знака с отрицательного на положительный на линии S, являющейся границей листа (II), координата руля z вновь станет равной — 1, изображающая точка переходит на лист (I) и затем движется по нему, пока не дойдет до линии S' — границы листа (/), и т. д.
