Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, фазовые траектории системы (8.39) на границах области (s) — на контурах P и Q — либо касаются, либо пересекают их, входя в область (s). Так как эта область не содержит состояний равновесия, то согласно известной теореме качественной теории дифференциальных уравнений второго порядка (см. теорему V § 2 гл. VI) в ней существует устойчивый предельный цикл. Тем самым мы показали, что единственный и устойчивый предельный цикл системы (8.30) находится в построенной нами области (s) и, следовательно, стремится к ABCDA при (j.-V-]-О1).
б. Период автоколебаний при малых {і. Асимптотическая формула для периода разрывных автоколебаний
X = 2 In (2К— 1), (8.43)
найденная ранее (см., например, § 7 гл. IV), оказывается, дает довольно значительные погрешности для периода автоколебаний мульти-
') Это же можно сформулировать несколько иначе: предельный цикл системы (8.30) находится в 6-окрестности кривой ABCDA, где о = О (VV). Например, 8-окрестность кривой ABCDA, где о — наибольшее из 2 Vp и (2К— 1) Vp, содержит внутри себя область (є) и, следовательно, предельный цикл. § 5] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ 657
вибратора, если параметр ja не очень мал. Например, при ^ = 0,05 и K = 2, когда автоколебания весьма близки к разрывным1), погрешность формулы (8,43) составляет около 20%. В связи с этим представляется целесообразным провести вычисление асимптотического выражения для периода автоколебаний мультивибратора при малых ja (при Ca, Cg С), исходя не из предельной (при (л, —>0) структуры разбиения фазовой плоскости на траектории (рис. 390), а из функций соответствия (8.36), (8.39) для преобразований IT1 и П2 и уравнений (8.40а), точно определяющих неподвижную точку преобразования II' и предельный цикл при малых ja а).
Форма записи функций соответствия (8.36) и (8.39), а также уравнений (8.40а) несколько неудобна для этой цели. Перейдём поэтому в (8.36) и (8.39) от T1 = (I)1^1, T2 = W2^2 непосредственно к tx и ^2 — временам пробега изображающей точки в областях (I) и (II). Обозначим корни характеристического уравнения (8.32) (для области (I)) через X1 и Xj:
X1 = A1-Ш1 =*ИІ-1^-
2м
K-
К — Ьі-
, + 2,
і+-
<АГ— I)3 1 (АГ-1)5 К— 1 + 1f (К— I)2 — 4м-
K- 1
2м f*
К— 1 (AT-I)3
— 2
(АГ I)5
(8.44)
а абсолютные значения корней характеристического уравнения (8.31) (для области (II)) — через X2 и X^:
X2 = Zz2 — Ui2 = X' =й»4- о), = -
-Kl-V
2м
2м
= 1 + ^ + 2^+...,
= —— 1 —и. f*
(8.44а)
Подставим t1 = (u1^1 в выражение (8.36) для s и умножим числитель и знаменатель этого выражения на
АГ —
M1
z z co1
A1
1) При м =0,05 и К =2 автоколебания мультивибратора состоят из чередующихся «медленных» (со скоростью X порядка единицы) и «быстрых»,
скачкообразных изменений х (со скоростью порядка + = 20).
*) См. также [114, 52, 93, 158, 159], где проводятся вычисления асимптотических разложений для периода периодических решений некоторых дифференциальных уравнений второго порядка. В [114], например, рассмотрено уравнение, эквивалентное системе (8.30) при AT =2. 558 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Заметив, что К 1 = [і, A1=J(X^X1), W1 = J(X^-X1), мы получим следующие параметрические выражения для функции соответствия преобразования II1:
g—'-ih_e— Mi
(8.45)
(s' получается из выражения для s сменой знака и заменой Z1 на — Z1; см. примечание на стр. 544). Тем же путем, заменяя в (8.38) т.2 на W2Z2 и пользуясь соотношениями:
Т2(о2 = /г2, 2h,=lx' = K h2
К = -j (К jT и toS = у (К -
получим для преобразования П2:
). [«A-u-xJ^-i]
Si = a -=-t--j-i-—-- ,
е
— W2 = X2,
Л),
(8.46)
Из этих выражений для функций соответствия преобразований II1 и II2 уже нетрудно получить асимптотические разложения функций соответствия, а также периода автоколебаний для малых р., пользуясь различием в порядке величины корней X1, X2 и X^, т. е. тем, что
XbX2=O(I), а х;, x; = o(J).
Ясно, что при движении изображающей точки по какой-либо траектории, пересекающей полупрямую 5 (например, по предельному циклу), время ее пробега в области (/) Z1-^--I-O при [j. —> —|— 0, а в области (II) Z2 стремится к конечному пределу (Z2 = O(I))1). Но
! -1)
тогда х2'з = O(I)j а = v-j, т. е. стремится к нулю
х) В области (!) абсцисса л; изображающей точки изменяется от -)- 1 до — 1 со скоростью х-*—оо при (л—поэтому при ц—" + О Z1-^-I-O;
/ 1 ^
можно показать, что для ограниченных 0<s<.M О (р) < Zi < О Ip In—
В области (II) ордината у изображающей точки изменяется на конечную величину; от у'= — (К— 1) + S' > К— 1, ибо s'>2(K~ 1), до yi = ¦=— (К—1) — S1 < — (К—1) с конечной скоростью у = х; отсюда следует, что Z8 = O(I)1 § 5] ламповый ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ 559
(при [і —> —|— 0) быстрее любой степени ,J1. Поэтому (с точностью
до членов порядка е і1) функция соответствия преобразования II3 может быть записана в виде'):
Sl = !^2 ~Ь 0 \е
(8.46а)
= H [(.К ~ >ч)-^1+0 (е »¦).
