Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
%-х-К^} ИЛИ + (В) 554 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
Докажем теперь строго, что кривая ABCDA действительно является предельным положением предельного цикла системы (8.30) при [л, —> —0. Доказательство проведем путем построения на фазовой плоскости такой области (г), которая содержала бы
Рис. 391.
внутри себя (или на своей границе) кривую ABCDA, стягивалась к последней при (а —»¦-)- 0 и из которой фазовые траектории не могли бы выходить (при возрастании t). С этой целью построим на фазовой плоскости (рис. 391) изоклины х=0 (ось у), к = оо (кривую F, см. рис. 390), изоклины к = — \х и
во время «медленного» движения (вблизи Ff и Ft). Уравнением (В) мы пользовались при рассмотрении мультивибратора в § 7 гл. IV, заменяя динамическое рассмотрение быстрых (при Ca, Cff <; С) процессов постулатом скачка. Этот постулат (система из состояний | х | =? 1 мгновенно «перепрыгивает» в состояния I a" I > 1, причем при скачке у, т. е. напряжение на конденсаторе С, остается неизменным) теперь получается как следствие динамических уравнений (8.30) при jj. —> 4- 0.
Интегрируя на участках ВС и DA уравнение «медленного» движения л:+ Jf = 0 (см. § 7 гл. IV), мы получим предельное выражение для периода автоколебаний: lim х = 2 In (2ЛГ—1), так как для периодического движения
И-. + 0
при (і. —»- + О время пробега изображающей точки в области (/) h—»- + О и в области (//) It2 —> In (2АТ— 1). § 5] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР С ДВУХЗВЕННОЙ /?С-ЦЕПОЧКОЙ 555
* = -(- |/jjT а также замкнутые кривые Риф, симметричные относительно начала координат и составленные из отрезков прямых следующим образом.
Построение первого контура P (контура PiPiPiPiPiP6PiP6P9Pi0Pl) начнем с точки P1 (1, К—1 + vV)> являющейся точкой пересечения изоклины x =- ]/[а с прямой X = -)- 1. Отрезок PiPi имеет
угловой коэффициент, равный —и соединяет точки Pi и Pi (О, К—1 -f- 2 |/jA). Далее проводим горизонтальный отрезок PiP3 до пересечения с изоклиной х = оо, затем вертикальный отрезок P3Pi до пересечения с прямолинейной траекторией системы (8.30) в области (И):
У= — K-KiX, где Xt= 1 + ^21 ~ 4^ = 1-(-0 (ti.);
P4P6 представляет собой отрезок этой траектории и, наконец, P5P6 — отрезок прямой X = —1, причем точка P6 (—1, —К-\- 1—VV ) симметрична точке Pj и расположена ниже точки P8 (— 1, —К — Xi). Вторая половина контура P симметрична только что построенной ломаной.
Половина контура Q состоит из отрезка AQi горизонтальной прямой у= К—1 (точка Qi лежит на оси ординат), отрезка QjQa с угловым коэффициентом, равным -]- Уц (точка Q2 лежит на изоклине 4 = -(-1/(1,), вертикального отрезка Q2Q3, проведенного до пересечения с изоклиной х = оо, и из отрезка Q3C изоклины х = оо; вторая половина контура Q (ломаная CQlQiQ6A) симметрична первой.
Покажем, что область (s), заключенная между контурами PhQ (на рис. 391 она заштрихована), удовлетворяет всем поставленным выше требованиям. Эта область, во-первых, содержит внутри себя (или на своей границе) кривую ABCDA и стягивается к ней при р.->--[-0, так как наибольшие расстояния кривых PhQ (границ области (s)) от кривой ABCDA не превышают соответственно 2 j/p, и (2Ar—1)У7 и, следовательно, стремятся к нулю при [і-»--|-0. Во-вторых, фазовые траектории не могут выйти из области (s) (при
') Согласно (8.41) уравнением изоклины "^jr= х будет
* =--1—, V или У = —[1 +—)X — Kf(x),
X + У + Kf (X) ' \ x j ¦
следовательно, изоклинами х = ± JAjT будут ломаные .У = — (1 ± УV-) X —Kf (а:). 556 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
возрастающем t), ибо на ее границах траектории либо касаются границ, либо пересекают их, входя в область (s).
Для доказательства последнего утверждения достаточно рассмотреть ход траекторий системы (8.30) на ломаных P1P2P3PiP5P6 и /IQ1Q2Q3C. На отрезке P1P2, лежащем между изоклинами у. = —У \х и х = 0 над изоклиной F, — Уц ^ <0 и х 0; там траектории имеют меньший наклон, чем сам отрезок, изображающие точки двигаются влево и, следовательно, входят в область (s) (исключение составляет точка P1, в которой траектория касается отрезка P1P2). На отрезке P2P3 у =х^0 (траектории идут вниз), на P3Pi и P6P6 jc > 0, ибо они расположены под кривой F (траектории идут вправо). Отрезок PiP6 сам является траекторией и поэтому иэ может пересекаться другими траекториями. Таким образом, траектории системы (8.30) на половине P1P2P3P4P5P6 контура P либо касаются этого контура, либо пересекают его, входя в область (е). То же самое (в силу симметрии траекторий) можно сказать и относительно хода траекторий на второй половине контура Р.
Аналогично на /IQ1 у=х^ 0, на отрезке Q1Q2, заключенном
между изоклинами х = 0 и / = -\~Ур , 0 sg sg; -j- Ур и jt<^0,
на Q2Q3 JCsgO и на Q3C х = 0, но _у<^0. Отсюда следует, что траектории только входят в область (г) и через ее внутреннюю границу Q (мы доказали это для одной половины контура AQiQiQ3C, но в силу симметрии траекторий это утверждение справедливо также и для другой половины CQiQ5Q6/! контура Q).
