Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
§ 2. Ламповый генератор
1. Уравнение колебаний. В качестве первой задачи мы рассмотрим автоколебания лампового генератора с колебательным контуром в цепи сетки или в цепи анода (рис. 348). Если пренебречь анодной реак-
цией, сеточными токами и внутриламповыми емкостями, то, как мы видели в гл. I, § 6, уравнение колебаний такого лампового генератора может быть записано в следующем виде:
LC^ + [RC-MS{u)]^+u = О1). (8.3)
В настоящем параграфе мы примем кусочно-линейную аппроксимацию характеристики лампы ia = ia(ii), изображенную на рис. 349:
0 при и Ua, S (п -f- M0) при И -H0,
') Мы обозначаем время через С, так как через t ниже будет обозначаться безразмерное время. 508 ТОЧЕЧНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [гл. VIII
где 5 — крутизна восходящего участка характеристики и щ — абсолютная величина напряжения запирания лампы (м0 0). Введем безразмерные переменные дг = — и t = u)0f, гдє (dft = ^-f=t— «томсонов-
Un
Y LC
екая» частота колебательного контура. В этих переменных уравнение (8.3) при кусочно-линейной аппроксимации характеристики лампы (8.4) запишется следующим образом:
при х< — 1 ?-)-^^4^=0,)
^ = 0, j э ( '
где
при X - 1 X-IhiX -}- X :
h, = ^ [MS-
H1 = ^RC
RC].
Рис. 349.
Таким образом, при такой кусочно-линейной аппроксимации характеристики лампы фазовая плоскость х, у (у = х) лампового генератора разбивается прямой х = = — 1 на две области (I) и (II) (рис. 350), в каждой из которых фазовые траектории определяются соответствующим линейным дифференциальным уравнением (8.5)1). Мы, очевидно, должны считать фазовые траектории непрерывными кривыми всюду и, в частности, на границе областей линейности — на прямой X= — 1.
Единственное состояние равновесия х=0, у = 0 лежит в области (//); оно устойчиво при /га 0 (т. е. при Ж5 и неустойчиво при Zzs 0 (при MS^RC). Ниже мы будем рассматривать только последний случай — случай «самовозбуждающегося» генератора2). Поскольку состояние равновесия х = 0,у = 0 является неустойчивым фокусом при 01 и неустойчивым узлом при /га]]> 1 и никогда
') Ясно, что используемые нами при построении математической модели лампового генератора кусочно-линейная аппроксимация характеристики лампы и предположения об отсутствии сеточных токов и анодной реакции не могут отображать свойств реальной лампы и лампового генератора при достаточно больших положительных значениях напряжения и, когда в лампе появляются сеточные токи и анодная реакция. Поэтому некоторые свойства рассматриваемой сейчас математической модели лампового генератора (например, существование при hi >- 1 траекторий, уходящих в бесконечность) не будут отображать свойств реальных ламповых генераторов.
*) Если hs < 0, т. е. AlS < RS, то, как нетрудно убедиться, все фазовые траектории будут асимптотически (при t—> + со) приближаться к началу координат — устойчивому состоянию равновесия, и генератор не будет совершать автоколебаний. § 2] ЛАМПОВЫЙ ГЕНЕРАТОР
509
их
не является седлом, особыми траекториями, определяющими качественно характер разбиения фазовой плоскости на фазовые траектории, будут уже известное нам состояние равновесия и предельные циклы, если последние существуют. Поэтому нашей основной задачей- является отыскание предельных ци-
клов и исследование устойчивости.
Так как дифференциальные уравнения фазовых траекторий — уравнения колебаний генератора (8.5) — являются линейными в каждой из областей (/) и (II), то на фазовой плоскости не может быть предельных циклов, лежащих целиком только в одной области (только в области (Г) или только в области (11)). Предельный цикл, если он существует, должен проходить через обе области и охватывать состояние равновесия. Следовательно, он будет пересекать границу этих двух областей — прямую х=—1.
Разобьем эту прямую на две полупрямые — на полупрямую 5: X= — 1, у =— s(s^> 0), и на полупрямую Sr: X = —-I1Jz = Sr^O. Эти полупрямые, очевидно, являются полупрямыми без контакта: полупрямая S пересекается фазовыми траекториями, идущими (при возрастании t) из области (Il) в область (I), а полупрямая Sr — траекториями, идущими из области (1) в область (11).
Рассмотрим фазовую траекторию, выходящую из некоторой точки s полупрямой S. Эта траектория, пройдя по области (/), пересечет полупрямую S' в точке sr и затем, если Zz3 <^1, т. е. если фазовые траектории в области (II) являются спиралями, вновь выйдет на полупрямую S в некоторой точке s1 (рис. 350). Тем самым фазовые траектории при 0<^/га<^1 осуществляют точечное преобразование полупрямой S самой в себя, ставя во взаимно-однозначное и непрерывное соответствие точки s и s1 этой полупрямой. Неподвижная точка этого преобразования, очевидно, является точкой пересечения предельного цикла с полупрямой S.
Если же 1, то состояние равновесия х = 0, у = 0, как мы
уже указывали, будет неустойчивым узлом; в области (II) будут иметься две прямолинейные фазовые траектории, уводящие в бесконечность (рис. 351), и, следовательно, траектории, выходящие из
