Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
СИСТЕМЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ [гл. VII
Уравнение интегральных кривых (7.15), как и в случае а = 0, имеет кроме состояния равновесия (O0, у0) еще две особые точки
типа седла: ^—у, oj и ^y, oj, которые не являются состояниями
равновесия системы уравнений (7.14). Однако теперь в отличие от
случая а = 0 сепаратриса седла ^—у, oj, выходящая на верхнюю
половину фазового цилиндра, уже не может входить в седло
( + , о)1)- Наконец, следует отметить, что все окружности у =
V ' 1
= Consta—= являются циклами без контакта, на которых У а
Следовательно, все фазовые траектории идут из далеких областей верхней половины цилиндра в область, заключенную между окружностями _у=0 и у = —и содержащую в себе состояние равнове-Ya
сия (t>0, _у(|). Принимая во внимание отсутствие замкнутых интегральных
кривых (кроме окружности _у = 0), мы можем утверждать, что все фазовые траектории асимптотически приближаются к устойчивому состоянию равновесия — к точке (f>0, _у0) (к ней, в частности, приближается и сепаратриса седла ^—у, ojj.
Сказанного достаточно для построения качественной картины разбиения фазового цилиндра на фазовые траектории системы (7.14) при любом Это разбиение изображено на рис. 345.
Таким образом, планер при наличии сопротивления воздуха имеет единственный устойчивый равновесный режим—полет с постоянной скоростью D = DaV0 по нисходящей прямой, составляющей с горизонтом угол 90. Этот режим устанавливается при любых начальных условиях. Если начальная скорость планера достаточно велика (на фазовом цилиндре мы попадаем на фазовую траекторию, охватывающую несколько раз цилиндр), то планер совершит сначала несколько
') Если бы эта сепаратриса входила в седло ^y, 0j, то тогда на фазовом
цилиндре имелось бы два замкнутых контура, состоящих из интегральных кривых (из сепаратрисы седла и той или иной полуокружности у = О) и не охватывающих цилиндр, что невозможно, поскольку выполнены условия критерия Дюлака. § 4] задача жуковского о планирующем полете 503
«мертвых петель» (их число определяется начальными условиями) и затем по «волнообразной» траектории будет приближаться к траектории прямолинейного полета. Такая траектория полета планера (траектория
Z
---»-T
Рис. 346.
движения его центра тяжести в вертикальной плоскости х, г) приведена на рис. 346 1J.
На этом мы закончим краткое рассмотрение динамических систем с цилиндрической фазовой поверхностью8). В некоторых задачах оказывается необходимым ввести и другие типы фазовой поверхности, отличные от плоскости и цилиндра, например тор или многолистные поверхности. Системы с фазовой поверхностью в виде тора выходят за рамки настоящей книги, а несколько систем с многолистной фазовой поверхностью будут рассмотрены в следующей главе.
') Уравнения траекторий полета планера в плоскости х, г, в отличие от консервативного случая а= 0, уже не может быть получено в квадратурах поскольку в рассматриваемом диссипативном случае а > 0 не имеет места ни интеграл (7.16), ни закон сохранения энергии (а), приведенный в примечании на стр. 500.
2) Еще одна динамическая система с цилиндрической фазовой поверх-
ностью (простейшая модель паровой машины) будет рассмотрена в следующей
главе (в § 10). ГЛАВА VIII
МЕТОД ТОЧЕЧНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ И КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ1)
§ 1. Введение
Перейдем теперь к количественному рассмотрению нелинейных динамических систем, ограничиваясь по-прежнему автономными системами второго порядка (с одной степенью свободы). Как мы уже говорили, при современном состоянии теории это количественное рассмотрение (аналитическими методами) может быть удовлетворительно проведено, в сущности, лишь для трех классов систем, имеющих, однако, значительный практический интерес. Один из этих классов составляют системы, близкие к консервативным, и в частности, практически наиболее интересные системы, близкие к гармоническому осциллятору; второй класс — это системы, совершающие разрывные колебания. Эти два класса будут рассмотрены соответственно в гл. IX и X. Наконец, третий класс составляют системы, количественное рассмотрение которых может быть проведено при помощи метода точечных преобразований2). Наиболее просто этот метод применяется для так называемых кусочно-линейных систем, т. е. для систем с фазовым пространством, состоящим из областей, в каждой из которых динамические уравнения движения линейны. Количественному рассмотрению таких кусочно-линейных систем и будет посвящена настоящая глава.
Рассмотрение нескольких задач об автоколебаниях кусочно-линейных систем при помощи метода точечных преобразований было уже проведено в § 4—6 гл. III. В этих задачах нахождение предельных циклов и исследование их устойчивости сводились к построению некоторого точечного преобразования полупрямой самой в себя (к вычислению соответствующей функции последования), к отысканию неподвижных точек полученного точечного преобразования и исследованию их устойчивости, причем во всех рассмотренных задачах мы
') Написано Н. А. Железцовым.
