Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Можно также показать, что когда а0 ф 0, из петли сепаратрисы рождается единственный предельный цикл, причем этот предельный цикл устойчив, если U0 < 0, и неустойчив, если O0 >0. ГЛАВА VII
СИСТЕМЫ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФАЗОВОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ')
§ 1. Цилиндрическая фазовая поверхность
Отображая поведение динамической системы в фазовом пространстве, мы требуем взаимно-однозначного и непрерывного соответствия между состояниями системы и точками фазового пространства. Значит, каждому состоянию системы должна соответствовать одна и только одна точка фазового пространства, и наоборот, каждой точке фазового пространства должно соответствовать одно и только одно состояние системы, причем близким состояниям системы должны соответствовать близкие точки фазового пространства. Это требование устанавливает известную связь между характером физической системы и основными чертами того геометрического образа, который может служить для данной системы фазовым пространством. До сих пор мы рассматривали физические системы (с одной степенью свободы), для которых фазовым пространством может служить плоскость. Однако, как мы видели в гл. II и III, существуют такие системы, для которых плоскость не может служить фазовым пространством, так как при этом не соблюдается требование взаимной однозначности.
Примером такой системы может служить обычный физический маятник. Действительно, состояние маятника определяется углом его отклонения от положения равновесия и скоростью; но при изменении угла отклонения на 2 тс получается совершенно такое же состояние маятника, физически никак не отличимое от исходного. Поэтому на фазовой плоскости мы получим бесконечное число точек, соответствующих одному и тому же физическому состоянию системы (все точки, отстоящие друг от друга на 2къ по оси абсцисс). Следовательно, строго говоря, плоскость не пригодна в качестве фазовой поверхности для обычного физического маятника, так как при этом не удается соблюсти условия взаимной однозначности и непрерывности соответствия точек плоскости и состояний маятника. Правда, использование плоскости в качестве фазовой поверхности вряд ли может послужить причиной недоразумений, особенно до тех пор,
') Глава переработана Н. А. Железцовым. §§ 1 и 4 написаны им заново. § 1] цилиндрическая фазовая поверхность 481
пока мы ограничиваемся рассмотрением движений, не выходящих за пределы одного полного оборота. Но если мы рассматриваем движения, выходящие за пределы 2тг, то для соблюдения требования взаимной однозначности и непрерывности мы должны отображать движения маятника на фазовом круговом цилиндре 4). Это обстоятельство, очевидно, связано с существованием двух, качественно различных типов периодических движений маятника (колебаний около состояния равновесия и движений маятника с проворотом вокруг оси).
Аналогичная картина имеет место и для всех механических (или электромеханических) систем, положение которых вполне определяется углом. Так как такие системы встречаются довольно часто, то применение цилиндрической фазовой поверхности представляет большой интерес.
В настоящей главе мы рассмотрим несколько физических систем, поведение которых следует отображать на фазовом круговом цилиндре, а также покажем, как нужно применять в этом случае общие' методы построения и исследования фазового портрета динамической системы.
Для того чтобы построить фазовый портрет исследуемой динамической системы, общий вид уравнения которой может быть записан в виде двух уравнений первого порядка:
g = ® (», *), g = F(», z), (7.1)
где Я и 2 — координаты цилиндрической фазовой поверхности, мы, так же как и в случае фазовой плоскости, должны изучйть основные элементы фазового портрета: особые точки, сепаратрисы и предельные циклы, соответствующие периодическим движениям. Но на фазовом цилиндре помимо «обычных» предельных циклов, лежащих на поверхности цилиндра и охватывающих состояния равновесия, но не охватывающих самого цилиндра (такие кривые вполне аналогичны замкнутым траекториям на фазовой плоскости), может встретиться совершенно новый тип предельных циклов, охватывающих не состояния равновесия, а самый цилиндр. Очевидно, что и эти замкнутые траектории соответствуют периодическим движениям. Для построения фазового портрета на цилиндре мы должны знать также и эти замкнутые траектории, охватывающие цилиндр. Но особенно нас должны
') По направляющей цилиндра будем откладывать угол 0, определяющий положение маятнике, а по образующей, например, угловую скорость г=-Часто представляется удобным вместо цилиндра брать (для изображения фазовых траекторий) его развертку на плоскость г, как мы это уже делали в § 4 и 5 гл. II. При этом, однако, следует отождествлять точки пограничных прямых развертки, соответствующих одной и той же линии разреза цилиндра (например, точки прямых -)- л и ft = — л), т. е. считать их соответствующими одним и тем же состояниям системы (отождествлять следует точки е одинаковыми г).
16 Теория колебаний 482 системы c цилиндрической фазовой поверхностью [гл. vii
