Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим, что исходная система уравнений путем надлежащего преобразования приведена к каноническому виду, т. е. к виду
^ = C1(X) x — b1 (X)у + g(jf, у, X),
так что рассматриваемое состояние равновесия лежцт в начале координат. При этом g (аг, у, X), h (х, у, X) — ряды, расположенные по степеням jc и у, начинающиеся с членов не ниже второго порядка, a G1 (X) и b1 (X) —- действительная и мнимая части корней характеристического уравнения (при этом, не нарушая общности, можно считать, что b1 (X) 0 при всех рассматриваемых X). Тогда при Q1 (X) О состояние равновесия О есть устойчивый фокус, а при G1 (X) О состояние равновесия О есть неустойчивый фокус; если же G1 (X) = О, то члены первого порядка не дают ответа на вопрос об устойчивости.
Как и в § 4, переходя к полярным координатам и заменяя систему одним уравнением, получим:
dr_ Q1 (X) г -j- g (г cos 6, г sin 6, X) cos 6 -f h (г cos 6, г sin 6, X) sin 6_
dd bi (X) г + h (r cos в, л sin в, X) cos в — g (г cos в, л sin в, X) sin в
= TjR1 (Є, X) -J- TiRi (0, X)+.... (6.24)
Так как, по предположению, при рассматриваемых значениях X b1 (X) не обращается в нуль, то ряд в правой части сходится при всех значениях 0 и при всех рассматриваемых значениях X (X1 X X9) для всех достаточно малых значений г, |г|<^р (р не зависит от 0 и X). При этом (см. § 4 настоящей главы) Ri (0, X) — периодические функции 0 и, в частности, R1 (0, Х) = ^^-. Как и в § 4, будем искать
O1 (К)
решение уравнения (6.24) r=/(0, r0, X), обращающееся в г0 при 0 = 0 (очевидно, имеют смысл только 0). Это решение (ср. § 4), в силу теоремы VI Дополнения I и следствия из этой теоремы, может быть разложено в ряд по степеням г0, сходящийся при всех 0, О<^0^2іг, и при всех рассматриваемых значениях X для значений г0, |г0|<^р0, где р0 можно взять не зависящим от X. Таким образом,
г= T0H1 (0, Х) + г2МЄ, Ь) + ...,
и Ui (0, X) вычисляются так же, как указано в § 4 настоящей главы, из рекуррентных дифференциальных уравнений вида (6.12) с той лишь разницей, что в рассматриваемом нами случае Ri (0) зависят .от X. Рассмотрим, как и в § 4, функцию последования
(6.23) 472 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
на полупрямой 0 = 0:
где
г=/(2тс, r0, Х) = н,(2гс, Х)г0 + ..., K1 X) = *?"1 •
Пользуясь этой функцией, мы могли бы провести геометрическое рассмотрение, аналогичное тому, которое мы провели для случая обычной функции последования. Однако мы воспользуемся сейчас иным геометрическим рассмотрением. Вводя функцию
и рассматривая полуплоскость r0, X, (r0 Ss 0), будем строить для этого случая обычные бифуркационные диаграммы.
Посмотрим, какие здесь могут быть возможности:
1) Предположим, что для рассматриваемых значений X C1(X)^=O, следовательно и Oi1 (X) ф 0. Тогда для рассматриваемых значений X кривая \F(r0, X) = 0 не имеет особых точек (в смысле дифференциальной геометрии, т.е. точек, в которых одновременно 1F^=O и lFx = O); знак (X1 (X) не меняется, особая точка — фокус — сохраняет свою устойчивость и от нее не может отделиться (и к ней не может стянуться) предельный цикл.
2) Займемся теперь случаем, о котором мы говорили выше, когда
ах (X) = Y обращается в нуль, т. е. когда среди рассматриваемых
значений X найдется такое значение X = X0, при котором O1(X0) = O,-а следовательно и oi1(X0) = O (фокус становится вырожденным). Кривая lIr (r0, X) = 0 имеет тогда в точке г0 = 0 особую точку (легко проверить, что (?;о)Го=0= о и (?? п = 0).
Прежде чем исследовать характер бифуркационной диаграммы вокруг точки г0 = 0, X = X0, напомним (см. § 4), что если oi1(X0)=O, то непременно обращается в нуль и oi2(X0). И вообще, если oi1 (X0) = =... = (X0) = 0, то непременно и oi2n(X0) = O.
Рассмотрим функцию <F(r0,X) = 0. Для исследования особой точки r0 = 0, X = X0 найдем выражения для вторых производных W(r0, X) при значении r0 = 0, X = X0. Получим:
lIrCr0, *)=/(2«, *)-г, = <ч(*К + <ч(*)г8 + ...
Xf=X0
(KJr0-O = a, (X0)= 0; (WJ^0= 0;
Х = >о У- — ^o
Рассмотрим подробнее случай, когда § 5]
зависимость картины траекторий от параметра
473
тогда
WV0K=O (4?, =о - CW0=O < о
X=X^ X = Xq 1 = )-0
и точка г0 = 0, X = X0 будет простой двукратной точкой (узлом) для кривой W(r0, Х) = 0.
В этом случае при изменении X от значений, меньших X0, до значений, ббльших X0, 04 (X) и ах (X) меняют знак, и рассматриваемый фокус меняет устойчивость.
Проще всего исследовать характер точки r0 = 0, X = X0, если воспользоваться тем, что кривая (г0, Х) = 0 распадается на прямую г0 = 0 и кривую 9(г0, X) = Ct1 (X)+ (X)г04-... = 0.
Для того, чтобы выяснить, как расположена кривая 9 (г0, Х) = 0
вблизи точки r„ = 0, X = Х„, вычислим значения и ^ в этой точ-0 dt о dr\
ке. Получим:
dl\ ___«а (X0) _ Q
dr0)x=\0 Idzl(I)X
\ dl /х=х0
т. е. кривая 9 (г0, Х) = 0 имеет в точке r0 = 0, X = X0 вертикальную касательную:
— — 2"а (Хо) drl)r0=0 Idal(I))
I dl jx=x0
Предположим, что а3 (X0) ф 0. Тогда кривая <p (r0, X) = 0 вблизи точки r0 = 0, X = X0 расположена целиком по одну сторону от касательной.
