Оптический резонанс и двухуровневые атомы - Аллен Л.
Скачать (прямая ссылка):
Момент Ic есгь конец импульса при (0 и дан вег* более поздних момеятэк иромевн огибающая ранні иулю
то функции и и V фигурирующие в (1 41) определятся формулами (I 20) Под щ її V1J здесь следует понимать н(/0,г,Д') и v{t0, г А') В результате имеем
А'и + ±-v = u0[&' cos А (Ї - ад + -ysin A' (t -I0)] e-e-«/r +
+ Bb [-у cos Ч^-ад-Д'ыпА'^-ад]^''-'-»1". (1.42)
Чтобы использовать (142) при аиачизе (141). выделим два случая которые для удобства назовем «классическим» и *со-времениым> Они различаются соотношепнем трех времен. T і—10 и неоднородного времени жизни Т* Первые два входят непосредственно а 7* входит через g(A') [см 1 27)] В этих двух случаях анатиэ уравнения (1 41) облегчается использованием соотношения (1 42) Они определяются сіедующіш образом
„классический" случай, і — t0^T* *2>Т, (1 43) „современный*1 случай T 3> / — /6 » 7" (1 44)
«Классический» случай справедливый для времен столь больших, что переходный отклик каждого диполя затухает до нуля, обсуждался в предыдущем параграфе хотя и в другом аспекте Легко показать, что подход, связанный с «птощадыо» импульса, дает те же результаты Поэтому мы сосредоточим
Классическая теория резонансное оптики
29
внимание на «современном» случае Рассмотрим столь короткие времена свободных осцилляции І— Icx, что отклик ни одного из диполей еще не исчезнет (т е 7— /и 7") Однако вследствие расфазировки диполей, возникающей за счет неоднородного ущирения, макроскопическая поляризация полностью затухнет, если Ї— tr> Т*
Выражение (141), которое описывает изменение площади импульса с расстоянием, упрощается, если учесть что два по следннх слагаемых при 7—1й <? T взаимно уничтожаются Это можно проверить интегрируя уравнение (I 186) для v(i,z, 0) в пределах короткого времени и используя представление
справедливое, если функция 7"-1 [A'2 + T-7]-1 имеет при интегрировании по А' наиболее острый максимум Последнее действн тельно имеет место с учетом неравенств (1 44)
Вычисление оставшегося члена в правой части (1 41) требует определенной аккуратности Выписанный полностью с использо ваннем Д'и из (1 42), этот член имеет вид
VdA'
j^rygAg-U - ц) sm& (*-4]e-<W (1.45)
В пределе J — (ц» Г* тригонометрические функции достаточно
быстро осциллируют так что отличный от нуля вклад в интеграл может вносить лишь область вблизи Д' = 0 Второе слагаемое в (1 46) имеет хорошо известное формальное представление
-"7-'¦»^a (А-).
На первый взгляд может показаться, что указанное слагаемое вообще не дает вклада, так как A12O(AO = Q Однако поскольку T 3> 1— ч) функция A^[A'2 -|- T-2J-1 близка к нулю лишь в очень малой окрестности точки А' = 0, и связанными с этим эффектами можно пренебречь Итак,
- С (Y) Ь'! ^ si"u '*-'°> е-в-Ш dA- _
—-«ff(0)0(?, г; 0), (1.47)
где множитель ехр[—(7 — 'o)/7*J ~ 1 и заменен справа единицей Данный результат, несколько неожиданный с формальной точки зрения становится очевидным при тщательном учете всех временных неравенств (фиг 1.3) Вклад первого слагаемого в (1 46) определить проще, н он оказывается равным нулю Точнее говоря, первый член связан с главной частью интеграла от
Классическап Теория рсзйнансноИ оптики
31
?(Д')/Д', и потому он, грубо говоря, в Т*\Т раз меньше, чем второе слагаемое [т е (1 47)]. и км можно пренебречь
Используя єnie раз уравнение (I 186) для времен, коротких по сравнению с Т, получаем следующий результат
V(I0, ZiO)^-A(I1,, z), (148)
который связывает площадь импульса с резонансной днеслпа-тнвной частью амплитуды диполя Поскольку А (Ї г) = Л(^з, г) [ведь =0 для t>loi. можно записать (I 41) в виде
2К^А(Ї, z)~-l?^ng(G,A(t, z\ (1 49)
Соотношение (1.49) выражает классическую «теорему площа деи»
Из «теоремы площадей» вытекают два важных следствия Во первых, видно экспоненциальное затухание А с расстоянием г по закону Бсра
А(І, Z)^A (t. Z0)S-'""**"***. (1.50)
Это согласуется с (1 346) и (1 36) в том же пределе Г>7* как и ранее Новым моментом является однако то что резуль тат не зависит от временной формы импульса конечной дїитель ности, в то время как ранее предполагалось что Ж не меняется Eo времени Во вторых, поле теряет энергию в процессе распро странення даже при отсутствии взаимодействия с диссипатнвной системой Действительно, из (1 49) ясно что даже если скорость релаксации каждого диполя равна нулю (7"= со) диэлектрик тем не менее ослабляет поле, проходящее через него Физическая причина этого уже отмечалась диполи возбуждаются пришедшим импульсом за счет его энергии и затем осциллируют с частотой поля Однако после того как импульс прошел, восстанав ливаются собственные колебания В итоге в течение времени Т" диполи полностью расфазированы друг относите шю друга и могут создавать лишь весьма малую макроскопическую удельную поляризацию Диполи могут обмениваться друг с другом накол ленной энергией, но возвращенце энергии от системы диполей к полю уже невозможно
Существование большого разрыва между T и Г*, который, например, в разреженных парах щелочных металлов составляет около 100 ис, стимулировало постановку в последнее десятилетне множества остроумных кваптовооптических экспериментов по использованию энергии, накопленной как описано выше Первым примером этого рода служит фотонное эхо Наблюдались и другие эффекты оптическая нутация, затухание свободной по-
