Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Альфаро В.Д. -> "Потенциальное рассеяние " -> 33

Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.

Альфаро В.Д., Редже Т. Потенциальное рассеяние — М.: Мир, 1966. — 274 c.
Скачать (прямая ссылка): potencialnieraseyaniya1966.djvu
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 67 >> Следующая

и Рх-уt (-cos ft) имеет только существенно особую точку при Я= оо.
Согласно предыдущему, <3(Я) при Re Я>0 - мероморфная функция Я,
обладающая простыми полюсами в нулях cos зтЯ (т. е. при физических
значениях Я), а также в полюсах S(K, k), если последние существуют.
Вычет (?(Я) в физической точке Я=/+ */2 равен
[Ir(2Z+l)(Sz-l)PI(cosO).
4яЛ
Рассмотрим интеграл
K = -S- J Pi-'lA-cos")их, (9.16)
С
где С - некоторый замкнутый контур, который окружает (по часовой стрелке)
все физические точки Я, оставляя снаружи полюсы S(X,k). На этом контуре
интеграл (9.16) сходится и равен
СО
Г = Ш Е (2/ + ^ - X)pi (cos #) = f (0- (9-17)
1=0
Для эффективного использования (9.16) необходима оценка асимптотического
поведения Рх-у, (-cos ft) при больших Я, без чего нельзя исследовать
сходимость этого интеграла. Вспоминая, что
Qx-y2 (- cos ft) = Qk_i/2 [cos (ft - я)] =
= ^ ww<я "#i ll+WF d ¦x + i ¦x+1: еШ) •
Px-y,(- COS ft) =
= ctg яЯ [Q_x_,a (- COS ft) - (- cos ft)],
9*
132 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
и используя снова обобщенное неравенство Гобсона [18]
н-j. л+1; С)]<|1-СГ'Л, ReЯ> - |C|*=e-2Im(r)< 1, находим для больших X,
ReA>0,
| у, (- cos "•) | <
<C|sin#r,/j|^r'/^|It"Re<>IIImM+Im<>Re4-
Вдоль луча arg Я, = о полученная оценка дает
1 %р1-ч, (-cos А) < I cos яА ^ < С 1 sin О Г''/j | Я, |'Л ^-1
Re"ImX.r+Im"Re А._ ^ jgj
Для юкавских потенциалов при достаточно больших X и | arg А, | =?я/2 в
силу теоремы 2 гл. 8 имеем
ft1 2
|S(A., k) - l|<Ce-"Re\ cho=l+-2j5-.
Согласно вышесказанному, подынтегральное выражение в (9.16) меньше, чем
С | X |^2б~^ ^ ^ ^0 ^
При условии, что 1т ¦&<", путь интегрирования можно деформировать в любой
луч в Я-плоскости, учитывая только, что этот луч должен по-прежнему
отделять полюсы S(X,k) от полюсов (cosnA,)-1. Примем для простоты, что
S(X, k) вообще не имеет полюсов. Возьмем тогда путь С, проходящий по
мнимой оси X. В соответствии с формулой (8.31), при \V{iy)\<N/y$
подынтегральное выражение будет асимптотически ограничено величиной
Се~' ^' | X
и при ReftX) рассматриваемый интеграл будет аналитической функцией cos
б1.
Разберем отдельно случай Re 0=0. При р>1 интеграл может сходиться, но не
всегда абсолютно и не всегда представляет собой аналитическую функцию О.
§ 3. Асимптотические свойства и аналитичность
133
При р=1 (потенциал Юкавы) имеет место сходимость в смысле Чезаро [100].
Такое поведение не удивительно, если учесть, что линия Re 0 = 0 является
для амплитуды разрезом и, следовательно, рассматриваемый интеграл можно
определить вдоль этого разреза лишь как обобщенную функцию.
Форма записи амплитуды рассеяния в виде
/оо
И<)-тг I StsV c°se)*<a (9.19)
- /со
заимствована, по существу, из работ Пуанкаре [84] и Никольсона [79].
Поскольку она многократно использовалась Ватсоном и Зоммерфельдом [96],
ее часто называют преобразованием Ватсона - Зоммерфель-да. Мы будем
называть (9.19) ^-преобразованием. С помощью формулы обращения Меллера
[7] можно записать интеграл от f [2Е{\-cos0)] аналогично соотношению
(9.2)
СО
5 (Я,, k) = 1 - ik sin яЯ, J / [2Е (1 + х)] Рх-ц, (х) dx.
1
Аналитические свойства f(t) для юкавских потенциалов выводятся из формулы
(9.19) при подстановке в нее тождества
ЯУ.Л(- cos ft) = 1 J Pk_l/t (д)
cosrcX я j q - cos O'
1
В результате имеем
оо
f (4\ 1 f dw(t')
I я J t + t' '
о
где
/со
= k~ =г Г [S(k, k) - l]-rin-X
V ' yt(\+t/2k2) j 1 v ' J И-Vs
X [(! + 2f)P^Vs (! +2p) -рь-Ъ [l+w)] dK'
I3i Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
Вообще весьма интересно сопоставить свойства сходимости разложения по
парциальным волнам (9.1) или (9.6) с соответствующими свойствами ^-
преобразования.
а) Разложение по парциальным волнам является разложением по полиномам
Лежандра. Согласно известным теоремам анализа [13], разложение по
полиномам Лежандра сходится внутри эллипса на плоскости cos О.
Действительно, из неравенства (9.18) имеем
| Pi (cos d) | < с--р [(/ + У?Шш V].
1 п л |ein*|fc|/+7*1*
Далее, вспоминая результаты гл. 8, получаем, что
"12
если \al\<De~al, ch а = 1 +,
то разложение по парциальным волнам сходится при |Imd|<a. Границей
области сходимости являются прямые Imd=±a; в плоскости cos'd эта область
представляет эллипс с фокусами ±1. Действительно, положим z=Jt+ii/=cos
(¦От + гО'г), O^di^n, т. е.
х = cos dj ch d2, у - - sindjshdj.
На линии d2 = const имеет место соотношение
I "!-=1
(ch#2)2" (sh#2)2
представляющее собой в точности эллипс Лемана, образ которого на ^-
плоскости также является эллипсом. Кроме того, условию cosd=l+m2/2&2
соответствует t=-m2.
б) Как мы видели, в случае юкавских- потенциалов ^-преобразование
сходится абсолютно при условии Re d>0, т. е. во всей плоскости cos d с
разрезом вдоль l-^cosd-^оо. Если S(X) - 1 возрастает экспоненциально и
удовлетворяет ограничению
|5(г"-1|<Се>НР, 0 < р < я,
то область сходимости Red>p лежит слева от гиперболы
-у2______у2 __ I
COS2#! Sin2#! '
соответствующей Red = p.
§ 4. Асимптотическое поведение
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 67 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed