Потенциальное рассеяние - Альфаро В.Д.
Скачать (прямая ссылка):
135
Заключение. Если полная амплитуда рассеяния соответствует юкавскому
потенциалу с радиусом действия 1/от и р = 0, то f(t) будет аналитической
функцией на /-плоскости с разрезом вдоль полуоси -и в эллипсе Лемана. Это
означает, что разрез ограничивается в действительности интервалом -оо t ^
-от2. Данный результат предполагался Мандельстамом [65] при записи
двойных дисперсионных соотношений.
Интересно, что область аналитичности мы определили здесь по переменной t,
исходя из асимптотических свойств относительно переменной %. Еще более
интересной с точки зрения использования в физике высоких энергий является
теорема § 4, развивающая далее указанную связь.
§ 4. Асимптотическое поведение в /-плоскости и особенности в ^-плоскости
Свойства функции /(/) при больших t не могут быть выведены с помощью
разложения (9.6), которое, согласно § 3, сходится лишь внутри эллипса
Лемана и теряет силу при больших t. В то же время ^-преобразование
оказывается для этой цели весьма удобным.
Предположим, что S(X, k) имеет только один полюс при X = a(k) + V2 в
правой полуплоскости, причем a(k)-некоторая комплексная функция k. В этом
случае вместо (9.19) имеем
ICO
fw=-i I 5(с^Г' "и")*"*+
- /со
-blsr'3.*-(tm)8")- о-20)
Формула (9.20) представляет f(t) в виде суммы двух членов: непрерывной
суперпозиции функций Pip-Ч, (-cos ft) (функций конуса) и слагаемого,
появляющегося из-за наличия полюса. Рассмотрим эти члены по отдельности в
пределе при Im ft 00, а Re ft=const.
133 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
С помощью неравенства Гобсона (см. § 3) можно получить, что при больших t
функции конуса убывают и имеют порядок 0(?~'/г). При Red>0 можно в
пределе от f(t) (9.20) поменять местами переход к пределу и
интегрирование, так что составляющая f(t), обязанная интегралу, будет
стремиться к нулю.
Функции Лежандра обладают следующим асимптотическим поведением [7]:
Рх-Ч, (z) - 2- г1-1/*, | arg г | < я,
1*1 + 00- Vn Г (*+•/*) ё 1
т. е. член с Ра(--cos'd) ведет себя асимптотически как При Rea>- !/г
такой член становится при больших t основным. В случае наличия более чем
одного полюса в (9.20) появляются дополнительные слагаемые. Главным из
них при больших t будет слагаемое, соответствующее наибольшему значению
Re a. Если число полюсов бесконечно, то приведенные аргументы становятся,
вообще говоря, недостаточными и необходим специальный анализ, так как нет
оснований априори считать, что ряд вычетов в этом случае сходится и
однополюсная асимптотика сохраняет силу. Из сказанного следует, что
асимптотическое поведение f(E, t) при больших t имеет вид
f(E, t) ~ C(k)ta{k\ (9.21)
1 <1+0°
где C(k) и a(k)-комплексные функции k. Таким образом, получено важное
соотношение между асимптотическим поведением f(E, t) при больших t и
особенностями S (К, k) в комплексной X-плоскости.
Было высказано Предположение, что формула
(9.21) сохраняется и в релятивистской теории, где она позволяет
сделать интересные предсказания о рассеянии при высоких энергиях. Хотя
такое предположение оправдывается в целом ряде моделей, включая
приближенные формы уравнения Бете - Сольпи-
§ 5. Интерпретация полюсов в Х-плоскости 137
тера, есть серьезные основания считать, что в релятивистской теории,
кроме простых полюсов, существенный вклад дают также движущиеся
разрезы1).
§ 5. Интерпретация полюсов в ^-плоскости
После представления амплитуды рассеяния с помощью ^-преобразования можно
рассмотреть физический смысл полюсов в Я-плоскости. Как было показано,
составляющая амплитуды рассеяния, обязанная такому полюсу, имеет вид
wSWP"(*)(-cos<>),
где р(&)-множитель, зависящий от энергии. По определению a(k)
^[а(Л) + ±, -А] = 0.
Предположим, что при Е = Н=№ величина т] = 1т а мала, а величина Re а
близка к целому числу L,
а = L 4- р + щ, р, т]С1.
Функция F(%,-k) является локально аналитической по обеим переменным, и в
общем случае dF/dX ФО. Отсюда в силу теоремы 16 гл. 2 следует, что
функция Х(Е), определяемая равенством /ЩЯ),-&]=0, будет локально
аналитической функцией Е. Разложим ее по степеням Е - Я и оставим только
линейные члены
Я(Я)=:а(?) + у = /. +p(?) + /ri(?) + -i "
~ L + ц0 + Я]о + А (Д - Н) + ~2 ,
где
р0 = ц(Я), т10 = п(Я), а = {^е)е_н-
1) Недостаточность учета в общем случае только одних простых полюсов
следует, по-видимому, также из рассмотрения ряда экспериментов по
рассеянию при высоких энергиях. - Прим. перев.
138 Гл. 9. Аналитические свойства полной амплитуды
Рассмотрим далее уравнение а(Е)-Ь, приближенное решение которого равно
Е = Н - + = е0 - / -.
При Е=Е0 - /Г/2 система имеет резонанс с угловым моментом L и средним
временем жизни т = 2М/йГ. Действительно, величина sin[noc(&)] при k=h
мала и имеет порядок р и т], вследствие чего вклад полюса в f (Е, i)
велик. Следует ожидать, что А будет почти вещественным в силу соотношения
(справедливого при 1т&>0)
f у2 dx dX2 (E) __ о
dE
J" (ф2/x2)dx
(9.22)
Последнее соотношение получается из уравнения Шредингера для ф = ф[Я(?'),