Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
1/// ^mJi лф~2Ж Этот луч, проведенный под углом
У M2
PjtM
дір-—' рЯВЛЯРТГЯ осью симметрии ветвей траектортш, бе-Ум2+2тР>
руших начало из этой экстремальной точки /""- t~min и пРости— рающихся по обе стороны от оси симметрии до соответствующих экстремальных точек с координатой P=? ^max' Рассуждения о
луче, проведенном под углом A ^j----JL2LlL- , аналогичны;
Vm2+ 2т р б) Af- +__i^JL--.
2ч-2пъ а
бб. По условию задачи траектория частит-. в кулоновском поле &0(rJ-~~ 'Р'В отсутствие возмущения представляет собой эллипс, лежащий в плоскости, проходяшей через центр ПОЛЯ'. Б случае небольшого отклонения от кулоновского поля имеем
Р>-2 U(r)-U0(r} -t- ffCJ(г) и траектория становится незамкнутой. Приближенно она имеет вид эллипса, большая полуось которого медленно вращается по мере движения частицы. За период радиальных колебаний частицы в потенциальном полеU (f)= U0(h)t ffU(г) координата г увеличивается от до f- Pfmctx, а затем
вновь уменьшается до A-/^.За это время угловая координата (р частицы изменится от нуля до где/лу/<<7, так как отклонение от кулоновского поля мало. Если воспользоваться общей формулой для траектории частицы в полярных координатах, то можно написать г
'мах . /
SX+AfMdґ
і r'VG^S-VM}-*!
rZiotfT- r
= -2 fw I wVem (S-U(H)-^ dr.
В подьштегральном^выражении подставим U(r) = U0[f) + (f~) и сделаем разложение по малому возмущению ) » тогда по-
лучи f„ajc
YTi^Tv0It-))-Mf Jr *
г nun
f.__
с -TU (г) dr
-t 2т
min F 1 '
где другие слагаемые опущень' как малые. Первый интеграл равен JPff , так как при О^U (г) = О имеем AiP-O • Чтобы вычис-лить второй интеграл, сделаем замену переменной интегрирования, воспользовавшись законом сохранения момента M~tnt*P4/<) из которого следует - -^j—dys , где г =¦
После перехода к новой переменной интегрирования Ц/ получим
\ с
Здесь г VL ^ связаны между собой согласно уравнению траектории частицы в кулоновском поле jj ґ/~і=- , которое име-
о1 ' р
ет вид
COS f,
83 где р - фокальный параметр, а ? ~ эксцентриситет эллипса.
Проведенные рассуждения справедливы для любого возму-
щения oV(H . В частности, подставляя SU(г) ~ и выражав
Гу
г* через полярный угол у , приходим к простому интеграл} . который вычисляется элементарно
67. Движение частицы в сферически-симметричном потен~ циальном поле ?!(/"*) можно рассматривать как одномерное t
мг
эффективном поле ?/ - ^ - /<У/г),где А/ - абсолютная вели-. Э<р 2т F ' 2
чина момента. Закон сохранения энергии & — -^r F +и^ф позволяет найти радиальную скорость Г как функцию F Подставляя полученное выражение для скорости /"* в формулу dt =¦ , найдем дифференциальное уравнение, описывающее особенности радиального движения частицы. Например, период J радиальных колебаний выражается через интеграл
Jn Vs-Ustp
где A^ и Гр — точки остановки, в которых радиальная скорость частицы обращается в нуль.
Пусть потенциальная энергия разбивается на два слагаемых U(r)-U0(г) + OU(ґ) , из которых первое основное, а второе малое возмущение. Эффективное поле также разобьется на
два слагаемых U =Ucj -г SlI (г) . где 1/° =-Ж— Y тт (г) эр 1 / эф ио I' /•
Подставим U9cJ3- i- dU(Г ) в подынтегральное выражение и разложим подынтегральную функцию в ряд по малому возмущению (TU (г). Тогда интеграл также представится в виде ряда, первый член которого представляет собой период радиальных колебаний в потенциальном поле U0(F) в отсутствие возмущения, а второй - поправка д t к периоду радиальных колебаний, обусловленная возмущением /?U(t) . Другие члены опустим как малые, поскольку поправку Л T будем вычислять в первом отличном от нуля приближении. Таким образом, изменение периода под действием малого возмущения имеет вид
= f-^f- dr.
г, ^lljU
84 ' а) Если основное потенциальное поле является кулонов— ским Vo (ґ) = ~ (et >0jt а возмущение имеет вид &U(r)= -~- »
то целесообразно сделать замену переменной интегрирования и перейти к интегрированию по угловой переменной у , которая связана с /- соотношением
1 -Г 6 С0$ Ф,
Л г* ' 7
м pff * V
где р — - - фокальный параметр, a -/// - ^ / - зкс-тос і гп оС '
центриситет эллиптической траектории частицы в указанном ку-
лоновском поле. При помощи закона сохранения момента M ~
-ті^Ф и соотношения c/t~ , в котором Pa (K-U^jJ ^
получаем связь между дифференциалами Jf и dp в виде
df т P2
M
В результате изменение ^ периода радиального движения, обусловленное влиянием возмущения (Tl/(гJ= , запишется так:
JT
Л T= - -?^ "4 (('+(¦ COSffdf= -гх
f> Ґ! J M6 }
о
б) at- - u^
~ 2
в)
Mi
112\&[ ї
§ 6
68. Связь между углом рассеяния 9 и прицельным расстоянием P дается общей формулой
Л в Г** fdr
2 2 -/
Гр Г Vf б г*
в которой - экстремальная точка траектории, обращаю«
Щая подкоренное выражение в нуль. В соответствии с условием
Задачи положим Ulf) ~ — . Замена переменной интегрирования
// ^2 (-2L J0 J JL. ^7 дает возможность вычислить интеграл
