Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Mt2I--X2 и xI < ' 5олумаем
Lr Vs-U(X)
Эта общая формула применима для произвольной функции U=Ufet).
а) В рассматриваемом конкретном случае область интегрирования разбиваем на две: от jo.^ до О и от U до »х,. При ^ интегрировании по первому отрезку [jCj , О J используем
и делаем замену переменной интегрирования согласно формуле / U J
( і ^ ' котоРая сводит искомый интеграл к таблич-
ному О , О
¦ ^ _ _ а [ JfI JTcc
* W-V0*! Vu0 J Vi-I2' гVir0
Интегрирование по отрезку \ О, ^X- J . где U(cr)-'(j^-> проводим
/ \ 7/ ° 6
аналогично. В итоге имеем ё) [ JJjj-)\
о
) Г= 2(*+*) V^ Є а. (]/4 + }/# -/ ) і
в) Г =Jrf -?= -Ґ -уЛ=-)]/^'.
\ Vb7 VeJu2 і у г
2
22. а) Из закона сохранения энергии S- Cj, у tk следует, что точки остановки механической системы являются корнями алгебраического уравнения S = І к Q, . Тогда а =0 отвечает
59 состоянию покоя с энергией S-D . Для положительной энергии О ^ <S 7 существуют две точки остановки ^ и <рг ,которые ограничивают область движения ^ ^ ^ c^2 . Таким образом, условием финитности движения является неравенство O^ 6 <7 .
Время движения от одной точки остановки р до другой ^ равно времени обратного движения, причем механическая система возращается в первоначальное состояние. Следовательно, движение периодично с периодом
г* г [ е ^f —- ¦> І У* Ztk* * '
где использовано f -yg- '• ^jlfl вь1числения интеграла
умножим числитель и знаменатель на положительную величину thy, . После внесения множителя chy, под знак корня воспользуемся формулой ch - 7+ S к и сделаем замену переменной интегрирования ( )? shy= % • тогда придем к
табличному интегралу f
т- 2 f . dt А: .» WTl1 Wp&VfT
где принято во внимание, что в точках остановки выполняются равенства
У77Т
при і , ? >0;
в) T= гж ¦ при - / -с ? < о:
VT
г) Т— — при
VrT^
д) T = иря -а^б-со,
е) T =231 при 6 > \ CL\ т
23. Сначала предположим, что частица приближается к потенциальному барьеру слева jc ^ эс С , имея положительную проекцию скорости. Вблизи точки je = С максимума разлагаем функцию U — lf(jc) в ряд Тейлора и сохраняем только 6G два члена этого ряде U = U(t)* ^5? 3 а другие ела-
dx^
гаемые опускаем как пренебрежимо малые. Из закона сохранения энергии в = •Zr-a^+Vix,)получаем jc — -^r (Є~ Jc) , где
з Vrn
d U (?} 2
использовано обозначение ий>0 . Решение дифференциального уравнения dt — имеет вид tn(C~Sc)tCt где постоянная С находится из начальных условий, причем
) . Таким образом, частица приближается к потенциальному барьеру по закону
из которого видно, что для достижения точки сс=Е потребуется бесконечно большой промежуток времени. Если частица приближается к потенциальному барьеру с противоположной стороны сс JC0 , имея отрицательную проекцию скорости, то рассуждения аналогичны, а найденный закон движения сохраняет силу и в этом случае.
к
F'=?l 2~ ("«г foe )*', ¦
Энергия ? не сохраняется. Обобщенные импульсы р с индексами т+1 S^ & к сохраняются, а с индексами
нет.
25. Поскольку момент Л/-/7г/А»"х v) сохраняется при движении в кулоновском поле, производная по времени от вектора I имеет вид
^^(v^)-m(Pr Іг) ^ ^ - .
Ускорение -tf исключаем при помощи уравнения Ньютона гпгг^
--pc^T - . Величину г находим дифференцированием по времени
обеих частей тождества /-^= "р, что дает г — ~~~ • После
указанных преобразований подобные члены взаимно сокращают-» Ся и правая часть исходного равенства обращается в нуль =»# Таким образом, вектор / сохраняет постоянное значение.
61 26. Выпишем производную по времени от заданного тен.
зора
JT V = ¦(Kc * ^oC ) ^lJfcL ^ ^ ^?).
Воспользуемся уравнением Ньютона гтър - — ol-Г и исключив ускорения при помощи проекций этого уравнения на декартовы оси mj^ — - cl^20L KrrilCjb--CLJe-J?, . Тогда в правой части ис ходного равенства подобные члены взаимно сокращаются, та !
что Td = О . Следовательно, тензор T6^ сохраняет пост ;, янное значение при движении частицы.
27. Указание. При доказательстве соотношений -^jt1- -= О .it dt
и ^j^-= Q необходимо принять во внимание уравнение Ньютона m'2/--Г 3 а такжеІЧ=Г~* F , где F~сила, приложенная заряженной частице.
28. Указание. Для вычисления полных производных ік времени от заданных величин JTr и следует использоватг
уравнение движения
20. а) Энергия ? и момент М~ относительно цент^ шара; б) энергия , а также проекции импульса р и мо.
мента M на ось цилиндра; в) энергия <5 , проекция импульса р" на заряженную плоскость и составляющая .моменте M , перпендикулярная этой плоскости; г) энергия S и составляющая импульса р~ , параллельная нитям; д) энергия ? и проекция момента д/ на ось симметрии, проходящую чере;. оба заряда.
30. а) Три компоненты импульса Jt и две компоненты момента M . Третья компонента момента и энергия d являються функциями пдти указанных интегралов движения, так как <5 г -р {2гп и p~/*fsQ • б) в качестве независимых интегралов движения можно взять три компоненты момента м относительно центра потенциального поля и две компоненты сохраняющегося вектора Z- M г . Третья компонента вектора У является функцией указанных пяти интегралов движения, так как MI = O . Энергия S и модуль I сохраняющегося вектора связаны с расстоянием г Д° экстремальной точки траектории соотношениями:
