Техника вычислений в классической механике - Алексеев А.И.
Скачать (прямая ссылка):
перейдем к одному дифференциальному уравнению второго порядка ,
7К + CjO —---Є
Л /тъ
Его решение i- IK1 содержит два слагаемых, из кото-
рь-e^cue'^/m. ( a?) представляет собой
частное решение, a ZK = ?Sln(<j)l-t?)~ общее решение соответ-
73 »« 2
ствующего однородного уравнения Zt3o oD IKn = O ^ Здесь ? и ? -произвольные постоянные. При помощи первого уравнения єE ~~ cl^ І
- Z77'^ Є -+ 'O^sc определяем у ню проекцию скорости.
После этого используем начальные условия, чтобы определить постоянные интегрирования
6 =-СД==-7 ? -сьгс Siri -7=ф== «
ггь VaPTa* Vсо*-г Qf
Координаты & и и протона найдем интегрированием уравнений
Mt-*»')
Ji/ /XI О-
Ж = е cos ("t'f) - T^V^J е
с начальными условиями jc(0)= у(0}=0 . Окончательно
7ifTa-FT COS СОІ-і- --SCn CjO t )
пг (сО -і- CLT ) 4 СО ' * j ?
50. а) При АҐ > -<?ггга движение инфинитно, а наименьшее расстояние до начала координат равно Г" — 1/tL^tJ?r^-Cc
2 ° ¦ 2т G
Если M -< -2/гуаи S-^O , то движение финитно, причем наибольшее расстояние до начала координат дается тем же выражением, В случае /V 2/yja и S^O траектория не содержит экстремальных точек;
б) в случае S^O движение инфинитно, а наименьшее расстояние до начала координат
^=-Trt ]/ ^fJ * 4??^- при >
v при - О.
74 Рю л к Если О . то движение финитно, причем наименьшее I^mCn и наибольшее ^rrncuc расстояния до начала координат
^ , -__I__]/ ?г , M2+2гТТТГ
ZS У 4?г + *
теис 26 У ^gs v >
в) при ё <0 и любом значении 8 движение инфинитно, а наименьшее расстояние до начала координат
о \ге Уц? J __
Если ? > о .то движение финитно, причем (5 > "У(/у у-2 maj* а
наименьшее /^77 ^ и наибольшее ^yriccx расстояния до начала координат
у-fa- 2„8 J -> r = ( A. f і //-V ')^
юлх, 4 4 g2 2Sb S / ;
г) при о > Q энергия ?, положительна и движение инфинитно, а наименьшее расстояние до начала координат
^= (ILL+1 j ^
" I 4rr>6 1/( ^ 6 J ? / *
Если &<0 vi S0 < S » r^e <fa ^jfgJ ^a) 1 TO TpaeK~
тория не содержит экстремальных точек. В случае < О и 0<&< движение может быть инфинитным с минимальньим расстоянием до начала координат
[(7WWTf.
Для 8< О и 0< 6 <. 60 возможно также финитное движение с максимальным расстоянием до начала координат
.75 л.
_ ( Af2+ 2та
° 4rr> 6
¦1/FSWh
При $< О и -о°< Q движение финитно с максимальным расстоянием до начала координат___ .
/ м^2пга ^ Г
rJ-( fKi—;при-*°<&<0>
t. л/ШЕП при S ~ о,
51. а) Поскольку в начальный момент времени t = О
частица покоилась, в последующие моменты времени Q < t она
будет двигаться по радиусу в центр потенциального поля при-»
тя^ения. Ее энергия g = fi сохраняется. Из начальных
і
условий имеем <5 -~При помощи закона сохранения энергии — \-q находим радиальную скорость как функцию
2 \Г Rf \ 1 1/ Л в виде /' = -/7^(7:---J J у , которую подставля-
ем в правую часть соотношения oit. После интегрирования
полученного дифференциального уравнения время падения частицы в центр поля представится в виде интеграла
В числителе подынтегрального выражения положим Jt
•f-jf , тогда интеграл разобьется на два. Из них первый равен
нулю, а второй сводится к табличному. Окончательно / ¦
л г- Ir 2а 1
52. а) При движении частицы в сферически-симметричном
потенциальном пол&U--UoSLri2сохраняется энергия & и —.
момент М-т^х ZrJ. Так как при і -Q частица покоилась, ее энергия отрицательна <5~ г / S [ , а момент равен нулю. Закон
сохранения энергии запишется как S - jP' Ґ 2 — U $irv ^4і~
О ОС
Под действием центрального поля притяжения частица при Q< f движется по радиусу с радиальной скоростью (у
\ с і IT 7f? 1 г~° * ° ° ! о
76 "I ? ! /J7 . Если подставить это выражение в формулу с/ ? - Jh/г , то получим дифференциальное уравнение, описывающее искомый закон движения. Проинтегрируем обе части этого уравнения с
учетом начальных условий, тогда
л
SLH -fc
^dr
2 і (U0-ItlSin* ?
Ж'
где
кото—
I «V Ґо - расстояние от'частицы до центра при ?-0 , рое определяется из соотношения \t I sen-- U0 . Замена пе
ременной интегрирования Vfil интеграла и приводит к ответу
TT= Ї
Cb О
облегчает
Полагая Q % находим время падения частицы в потенциального поля притяжения
взятие
центр
б)
в)
г)
СО 5
OL
Ch ? OL
у
А.
6 >
(5
V* COS
dtHek
COS
І )->ln=a \jYJjy a-rccos
ЩТ-vJ a^ccosV
53. В сферически-симметричном потенциальном поле U=OLfi энергия S и момент лР* сохраняются, а радиальное движение
в эффективном Поэтому координату
частицы можно рассматривать как одномерное потенциальном поле UcitrT ¦ ^ i-CLf*2 - Поэто
проше всего найти при помощи закона сохранения
энергии б=
ґП
> м- +
г Jr
из которого получаем
У
Возьмем интегралы слева по времени от О до і ,а справа по
радиальной координате от/^ до F0 - экстремальная
точка траектории, в которой радиальная скорость обращается в
нуль и выполняется соотношение -б у. M ^ _ п . Спра—
