Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
І
¦ф (/ +1) =—с + 2 , ¦ф (і) =—с
(7.20)
(С — постоянная Эйлера). Главный член асимптотики решения задачи при малых Я найдем по формуле (10.28) гл. 2, где в соответствии с (9.7) гл. 2
v(t) = f/%,
а в согласии с (9.40) гл. 2
1+ (0 = X- (0 = у
erf + Jj=
У Kt _
(7.21)
Таким образом, имеем
ф(ж) =
/
вг{/1+?+м{}/-±^-1 +
+
(l+z)eXP\, » Я I ' V к(1 — х)
Интегрируя функцию (7.22) в пределах от —1 до 1, определим
*• - Ф /5 <¦""+11+1) mI Vl- !]¦ <7-23>
Решение задачи, справедливое при всех & ^ (0, °°), может быть найдено с помощью формул (7.9), (7.14) гл. 3 и условия ортогональности (8.18) гл. 3 функций Матье. В результате будем иметь
(-^M+
1 + 1 я
КтігЬгЧ-'Ьг)]- <7-22>
(<? = (2А)-2),
а для величины Ar0 получим выражение
N0 = — 2я/ 2 W2n)P
Fek2n (0,-g) Fek2n (0, — q) '
(7.24)
(7.25)
314 гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
В табл. 5.3 для сравнения приведены числовые результаты, полученные по формулам (8.31), (8.32) гл. 2 (первые строки),
Таблица 5.3
<р(х) N0
X 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 0,95 І
1/2 2,03 1,92 2,04 1,95 2,07 2,05 2,16 2,29 2,46 2,93 3,92 5,42 5,00 5,23
Я 1 1.09 1.10 1,04 1,10 1,11 1,06 1.14 1.15 1,12 1.24 1.24 1,26 1.52 1.52 1,65 2,70 2,66 3,10 2,99 3.00 3.01
0,67 0,68 0,72 0,80 1,02 1,89 1,97
0,65 0,66 0,70 0,80 1,05 2,01 1,96
формулам (7.22), (7.23) (вторые строки) и формулам (7.24),
(7.25) (третьи строки). Видно, что стыковка решений, полученных методами больших и малых X, происходит в районе X = 1.
Дополнение
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
Контактные задачи теории упругости при учете износа шероховатых поверхностей взаимодействующих тел, а также ряд смешанных задач для многослойных вязкоупругих оснований, когда относительная толщина и относительная жесткость верхнего слоя достаточно малы, приводятся к исследованию интегрального уравнения второго рода, содержащего операторы Фредгольма по координате и Вольтерра по времени, вида [1—4]
В (Д.1) Я її ц — соответственно геометрический и физический безразмерные параметры, причем Я > 0, [i ^ 0.
На практике встречаются два основных варианта задач (Д.1), (Д.2):
1) задаются функции б(t) и P(і) — находятся <р(я, t) и N}(t) (/ = 0, 1);
2) задаются функции Ns(t) — находятся <р(х, і), б(t) и P(t). Ниже для простоты рассмотрим важный частный случай интегрального уравнения (Д.1)
ф + ААф + Шф+ тВАф = б(«) — f(x) (|i| < 1, 0< < < Г), (Д.З)
і
ї
J \ A J J
-1 О
Ї 1
+ \т (ЦТ, ці) dx ( ф (Б, Т) к (1__? ) dl = б (t) + P (t) х - / (X) (Д.1)
при интегральных условиях
і
і
(Д.2)
-1
316
ДОПОЛНЕНИЕ
в котором к, I, га—постоянные, a f(x) — четная функция, причем f(x) є
где q>j(x, t) (/ = 0, 1) удовлетворяют соответственно однородному и неоднородному уравнениям
Здесь би — символ Кронекера. При этом система (Д.7) эквивалентна исходному уравнению (Д.З), (Д.4), если <р(х, 0) находится из уравнения
Ф (х, 0) + кА [ф (?, 0)] =6^+ б* (0) — f(x) (Ы<1). (Д-В)
Заметим, что оператор Аг|) вида (Д.4) является самосопряженным, вполне непрерывным и положительно определенным оператором [1], действующим из ?г(—I, 1) в L2(—I, I). А тогда, согласно общей теории таких операторов (см. § 3 гл. 1), имеют место теоремы 1.4 и 1.5, причем Яі > Яг > ... ... > Я» > • •. > 0, Iim Я„ = 0.
где {ф2п(ж)} — система четных собственных функций оператора А. Подставляя (Д.9) в (Д.7) и приравнивая коэффициенты при собственных функциях оператора А одинакового номера, получим
(I + U2n) [«<» (t) - (0)] + (i + ra/.2n) В [а«> (т)] =
= Van I6* W - б* (°)1 (0<*<Г), (Д.10)
єС(-1, 1).
1. Пусть б(t) еС(0, Т) изменяется во времени по закону
6 (<) =6<Х>+6* (*). б* («)->-О («-*- OO, =COnst).
Будем искать ф(х, t) в (Д.З) в форме [2, 4]
ф(х, t) = ф0(і, «)' + фі(г, t),
(Д.5)
(Д-6)
Ищем решения уравнений (Д.7) в виде
OO
Ф,- (*, <) = S 4п (*) cP2n (*) (/ = °,1),
(д.9)
п=1
OO
1 — 2 ^2П^2П
п~ 1
1
(Д-11)
-1
Решая однородное уравнение Вольтерра (Д.Ю), найдем
(Д-12)
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ ЭВОЛЮЦИОННОГО ТИПА
317
причем В силу последнего соотношения последовательность {ехр (—СХгпО} является замкнутой системой в классе непрерывных функций, исчезающих на бесконечности. Опираясь на это, разложим функцию 6* (і) в равномерно сходящийся при t є [О, T] ряд
OO
(t) = 2 Pu exP (- cV)- (Д-13)
і=1
Подставляя (Д.13) в неоднородное уравнение (Д.10), найдем
OO / / ,
«Si м = 2 ы+)+Кп+we~“2n • (Д•14)
г=1
Штрих у суммы означает, что в ней пропущено слагаемое с индексом п = і, коэффициенты Ъп{ и Cni имеют вид
ё%пРг jJ1
—
т (1 + кХ2п)(а2і-а2пу S2nPtdaZi-V)
^-(l + U2»)(a2i-a2»)> (ді5)
______^ 2пР'2п^
Kn- і-^тх2п>
С - - g2nP2n («2П-Р-)2
1 + тКп '
Таким образом, построено решепие уравнения (Д.З) в форме (Д.6), (Д.9), (Д.12), (Д.14), (Д.15) с точностью до счетного множества постоянных f (O) (ге^э 1). Последние определим, подставив решение (Д.6) при J = O в интегральное уравнение (Д.8). После очевидных преобразований с учетом (Д.11) и равномерно сходящегося при \х\ ^ 1 ряда