Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
В силу тонкости и слабой изогнутости профиля граничные
условия можно снести на ось х. Тогда при U = O будем иметь
Vnv = Vna = O (Ы <а),
(5.1)
Vxb = Vxh, Vye = Vya ( —о° <Х<
<—а, а<х<°°)\ (5.2)
‘ “ при X2 + у2 -*¦ оо, очевидно, Vx =
Рис. 5.9 =V, Vy = 0. Условия (5.2)'
означают непрерывность скоростей частиц жидкости вне профиля при переходе через ОСЬ X. Из условий (5.1) следует, что на профиле
1? = sin 0, Vx = VsCosQ, (5.3)
где 0 — угол между осью X и касательной к профилю в заданной точке. Поскольку же профиль тонкий и слабоизогнутый, то cos 0 « I, sin 0 « tg 0 = /' (х). Тогда имеем
Vs « vx = V + Vx, Vy = (V + vx)f'(x), (5.4)
где Vx — малое возмущение скорости основного потока. Окончательно, пренебрегая в выражении (5.4) для Vy произведением Vxf {х), придем к выводу, что граничные условия (5.1) можно заменить следующими: при у = O
Vm = Vf1(X), Vyn = Vf2(X) (|ж|,<а). (5.5)
Кроме того, заметим, что в силу условия Жуковского первое условие (5.2) будет выполняться и при X = а.
Для решения задачи воспользуемся формулами (2.17), (2.21) и (2.22) гл. 1, которые при сделанных допущениях примут вид
vx = V + ^, vy = %, р — ут. в_,
Дф = М*^|, M = -.
дх1 с
(5.6)
Здесь р* — плотность жидкости при давлении P*, с — скорость звука в жидкости, M— число Маха. Граничные условия (5.2),
(5.5) можно теперь переписать следующим образом: при у = O
% = Vf(x), dJ^ = Vf2(X) (|я|<а),
(5.7)
бфв бсрн дф дфн , _ .
17 = IT W = W (-°°<^<-а- «<*<«>);
§ 5. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТИ
297
при х2 + у2 оо дц>/дх и dtp/ду исчезают (третье условие (5.7) выполняется и при X = а).
Разобьем задачу (5.7) на «четную» и «нечетную» по г/; для этого будем искать функцию ф в виде
где ф+ и ф_ — соответственно четная и нечетная по у функции. Для «четного» случая граничные условия (5.7) примут вид: при у = O
при X2 + у2 оо дц>+/дх и дф Jdy исчезают. Обратим внимание, что краевая задача (5.6), (5.9) не является смешанной и решается просто. Для «нечетного» случая граничные условия (5.7) примут вид: при у = O
при X2 + у2 оо д(р-/дх и дф Jdy исчезают. Краевая задача
(5.6), (5.10) является смешанной, поэтому на ней остановимся подробнее.
2. Допустим сначала, что М<1. В этом случае, применяя к уравнению (5.6) и граничным условиям (5.10) интегральное преобразование Фурье1), по схеме решения смешанных задач, описанной в § 1 гл. 1, придем к интегральному уравнению
отличной от нуля при —а^х<а и характеризующей распределение подъемного усилия вдоль профиля. Для решения уравнения (5.11) можно воспользоваться формулами (3.22) и (3.23) гл. 2. Именно, для случая f (х) =—а будем иметь [15]
¦) В силу нечетностп функции <р_ по у можно рассматривать лишь нижнюю полуплоскость у < 0.
ф = ф+ + ф_,
(5.8)'
(5.9)
= J ^ [/!(*) + /а (^)] = Vf'(x) (|®|<а),
(5.10)
бф_
-X— = О (—оо <?<—а, а=^ж<;°°);
а
(5.11)
относительно величины
, W - - р»У (%¦ - - - 2p„F L_o, (5.12)
29,? гл. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
Эксцентриситет приложения подъемной силы и силу сопротивления движению R найдем с помощью (5.13) по формулам
Pe
а
= J ??(?)d?, е=-|, R = aP. (5.14)
Пусть теперь M > 1. Учитывая результаты предыдущего параграфа, решение уравнения (5.6) в этом случае представим в форме
бф_ бф_ ф_ = со (х + в/), — = со' (ж + $у), -gj = (V (х + рг/), ^ ^
P = V^M2 — 1, со' (f) = Q (f) [sgn (a + t) + sgn (а — t)].
С помощью (5.15) нужно удовлетворить граничным условиям
(5.10), но, в отличие от Постановки задачи при M < 1, здесь необходимо потребовать, чтобы по крайней мере во всей полуплоскости х < —а отсутствовало возмущение плоскопараллельного потока (3ф-/3ж = дф_/3у = 0 при х<—а). Нетрудно убедиться, что выражения (5.15) удовлетворяют этому последнему условию, а также второму условию (5.10). Удовлетворяя первому условию (5.10), найдем
Щх) = (I^)-1Vf (х). (5.16)
Далее, по формуле (5.12) получим
q(x)= -I9ifV2(W-X)-1 Г (х) (|ж|<а). (5.17)
Для случая f (х) = —а будем из (5.17) иметь [15]
S=T-е=0- й“"р-<5-18>
Из (5.14) и (5.18) видно, что при переходе от дозвукового обтекания профиля к сверхзвуковому центр приложения подъемной
силы смещается назад. Это обстоятельство известно под названием «затягивания в пикирование».
--------- у
х
3. Перейдем к изучению
¦— —-------— — — плоской задачи о движении с
Рис. 5.10 постоянной скоростью V тон-
кой жесткой пластинки длины 2а в вязкой несжимаемой жидкости. В системе координат, связанной с пластинкой (рис. 5.10), задача, очевидно, эквивалентна задаче об установившемся обтекании пластинки плоскопараллельным потоком жидкости, набегающим со скоростью V. Пусть плотность жидкости равна р, вязкость — ц, а давление на бесконечности Pif — 0. Поставим целью определить закон распределения
§ 5. ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ ПРОФИЛЯ В ЖИДКОСТИ
299
по пластинке контактных касательных напряжений T4, = -г (ж)', а также силу сопротивления движению R.
Для решения задачи воспользуемся уравнениями (2.11) —
