Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
P (*> = IIFbnn-J P ^ * (s) (7-41)
а
Наконец, выполняя дифференцирование в (7.41), используя снова
(7.34) и принимая во внимание симметричность функции Rxit, s) относительно ее аргументов, придем ко второй формуле
(7.31). Теорема доказана.
Обратим теперь внимание на то обстоятельство, что величині ц не входит в формулу (7.38), поэтому следует ожидать, что при определенных дополнительных условиях относительно ядра T(t, s) и правой части g(t) теорема 2.11 верна и при (1-+0 в
(7.16), т. е. для интегрального уравнения первого рода
ь
— \ T (t, s)ty(s)ds = g (t) (a^t^b). (7.42)
а
В этом случае функция pit, т) (я<т<Ь) должна естественно определяться [14] как решение в классе L (я, т) уравнения
T
— J T it, s) P (S3 т) ds = 1 (я ^ t ^т), (7.43)
а
а функция М(х) —равенством (7.35).
90
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Чтобы применить формулу (7.38) к интегральному уравнению (7.1) гл. 1, (1.3), введем новые переменные и обозначения
= s, x%~l = t, %~1 = Ъ, nK~lf(x)=g(t), <р’(ж)=іК0' (7.44)
и перепишем его для четного случая (четные f(x) и ф(я)) в виде
ь
T+ (t, s)ds = g(t) (0<?<Ь),
T(t, s) — Jc (s — t) Jc (s ?). Теперь, если p+(t, т) есть решение уравнения
и функция
J р+ (s, т) T + (t, s) ds = 1 (0 < t ^ т)
M+ (т) = Ji?+ (t, т) dt
(7.45)
(7.46)
(7.47)
при т > 0 обладает отличной от нуля и непрерывно дифференцируемой производной, то общее решение для четного случая при f(x)^C2( — l, 1) в соответствии с (7.38) будет
г|)(0
[м'+(т) dx J
р+ (s, т) g (s) ds р+ (t, Ъ) —
О -1т=Ь
T
I d
і L + • о
dv. (7.48)
В качестве примера рассмотрим интегральное уравнение (1.2), являющееся частным случаем уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) . В случае (1.2) имеем
P (я, т) -
я [In (2/т) 4- d] Zt2-X2 и тогда по формуле (7.48) найдем
, M(X) = -J
[In (2/т) + <ІІ
(7.49)
m (r\ = ц(1)(1п2+<г) г + (I)_1_ (1 M-' (T) + тц" (т)
TtVi-X2 п
T
W-2J
/+ (І) dl IV^tг
(7.50)
, / (*) = /+ (ж).
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»
91
В заключение этого параграфа отметим, что, зная общее решение (7.48) интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) для четного случая, нетрудно построить его общее решение и для нечетного случая (нечетные f(x) и ф(г)). Действительно, имеет место
Теорема 2.12 [4]. Если —I, 1) и ф+(ж) есть
решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) для случая
есть решение указанного уравнения, соответствующее /- [х).
В справедливости теоремы нетрудно убедиться, если постоянную с определить из условий ф+(±1) = 0 (см. условия (8.11) в следующем параграфе) и принять во внимание соотношение
В качестве примера вновь рассмотрим интегральное уравнение (1.2) и получим его общее решение для нечетного случая. Пусть в соответствии с теоремой 2.12 в формулах (7.50) функция f+(x) имеет вид (7.51). Полагая в (7.50)
определим постоянную с и получим решение для четного случая, удовлетворяющее условию ф+(±1) = 0. Затем по формуле
(7.52) найдем
Решения (7.50) и (7.52) аналогичны решениям (4.15), (4.17) и (5.29), (5.30).
§ 8. Асимптотический метод «больших h>
1. Наложим более жесткие, чем (1.19), ограничения на функцию Ь{и). Именно, будем предполагать, что L{u)> 0 и
t(it)-l|< е~ки 2 Api (0 <U< оо; Aix к > 0). (8.1)
X
(7.51)
О
обращающееся в нуль при я = ±1, то
ф- и = ф+ (х)
(7.52)
(7.53)
|А(1) (1п2 + <г)-‘ + JA7(I) = O,
(7.54)
1
T
771
Тогда справедлива [4]
92
ГЛ.. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Лемма 2.5. При всех значениях Ul<°° к (t) = — In UI + I0 (t),
(8.2)
OO
(8.3)
о
причем функция l0(t) непрерывна со всеми производными при Ul /?< оо и представима при Ul < к абсолютно сходящимся рядом
Соотношения (8.2) и (8.3) следуют из (1.21), (1.24) и
(1.25), если учесть, что C1 = O. Далее, раскладывая в (8.3) cos ut в ряд, придем к (8.4). Для оценки IdnI (п> 1) воспользуемся неравенством (8.1). Получим выражение
откуда следует абсолютная сходимость ряда (8.4)' при Ul < и. Также нетрудно с помощью неравенства (8.1) убедиться, что любая производная I0 (t) есть непрерывная функция.
Внесем теперь (8.2) в (7.1) гл. 1. Будем иметь
Следует отметить, что в § 8 гл. 1 при К (и) > О установлена разрешимость интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3), а следовательно, и интегрального уравнения (8.5) в классе H обобщенных решений, если /(ж)єЯ“(—1,1) (0<<X<1)'. Допустим теперь, что /(ж)єЯ“(—1,1) (0<а<1). Тогда указан-
ные интегральные уравнения будут тем более разрешимы в Н. Оценим интеграл
і / 00 \ V2
OO
OO
о
(8.4)
(» = 1, 2, ...)'.
I 1
- J ф (?) In dl = nf (х) — J ф (g) Z0 (1--) ^ (М<1).
(8.5)
§ 8. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «БОЛЬШИХ X»
93
При получении оценки (8.6) использованы неравенство Коши — Буняковского в H и формула (8.1). В силу (8.6) правая часть уравнения (8.5) принадлежит пространству #“(—1,1) (0<а<1). Тогда в согласии с теоремой 2.2 имеют место формулы обращения (2.36), (2.37)