Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
fT = { fTx J fTy J fTz } , где Лекция 4
65
К =JA
'эч
Эх2
Эх2
fx, =JA
^2Vz
Эх2
эЧ эЧ - +-T
Эу2 dz1
a2vy , Э2уу
ЭУ2 Э72
эч B2V7 +-T-
Эу2 dz2
= JiAvji
= MAvv
= JiAvz
(4.4)
В (4.4) использовано обозначение А =
н--г- н--- — оператор Лапласа,
dxz Эу dz
применяемый в математике и в физике для сокращения записи. Если теперь компоненты силы трения (4.4) подставить в правые части уравнений (3.30) для соответствующих компонент скоростей, то мы получим систему уравнений гидродинамики вязкой жидкости. Эти три уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения
— + vgrad
at
v = F- gradp + |iAv.
(4.5)
Оно отличается от первого из уравнений (3.31) наличием члена |iAv в правой части. Уравнение (4.5) называется уравнением Навье-Стокса и является основным при расчете движения вязкой несжимаемой жидкости. Общее аналитическое решение этого уравнения не получено, и поэтому для его решения используются численные методы. На практике иногда приходится ограничиваться частными задачами. Одной из таких задач является течение невязкой несжимаемой жидкости. Ранее мы получили условие, при котором сжимаемостью жидкости или газа можно пренебречь. Теперь выясним, в каких случаях можно пренебречь силами вязкости.
Число Рейнольдса. Критерий пренебрежения вязкостью.
Рассмотрим течение вязкой жидкости между двумя неподвижными горизонтальными пластинами, расстояние между которыми равно h, под действием сил давления. Поскольку частицы жидкости «прилипают» к пластинам, то скорости слоев у жидкости будут различными. Качественно распределение скоростей слоев изображено на рис. 4.4. Если известна характерная скорость течения (например, скорость V на оси потока), то легко оценить силы вязкого трения. Согласно (4.3)
h
fei
X —>
d2Vx dy2'
Рис. 4.4
V
(4.6) 66
Механика сплошных сред
Отсюда следует, что силы вязкого трения убывают с увеличением расстояния между пластинами. В общем случае можно считать, что силы вязкости, возникающие в потоке, обратно пропорциональны квадрату характерного поперечного размера потока и пропорциональны скорости.
С точки зрения динамики (см. уравнение 4.5) при отсутствии внешних сил F вязкостью можно пренебречь, если силы давления —grad р значительно превосходят силы вязкости |iAv. Этот случай соответствует ускоренному движению жидкости, как, например, при течении идеальной жидкости по горизонтальной трубе переменного сечения (см. Лекцию 3).
Следует, однако, подчеркнуть, что ламинарное течение жидкости, рассматриваемой в ряде случаев как идеальная, тем не менее обязано наличию вязкости. В отсутствие вязкости течение
I-1 жидкости будет неустойчивым. В самом деле, из-
за флуктуаций скорости частиц линии тока стремятся искривиться, и частицы в них будут двигаться с ускорением. Давления P1 и р, по разные стороны изогнутой трубки тока будут различными: p,>pj (рис. 4.5). Возникающий градиент давления связан с ускорением частиц жидкости уравнением:
dv
Рис. 4.5
p—s-grad р. dt
(4.7)
Последнее уравнение является приближенным уравнением Навье-Сто-кса ((a=O) и записано в отсутствии внешних сил. В этом случае критерий малости сил вязкости сводится к неравенству
||xAv| |цДу|
I grad р|
dv dt
<1.
(4.8)
В гидродинамике очень часто используют понятие силы инерции
Fh = _р —. С точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей
жидкости, она находится в покое, потому что силы давления, вязкости и инерции уравновешивают друг друга (см. (4.5)):
Fh -grad р + (aAv = 0. (4.9)
Неравенство (4.8) означает, что силы вязкости значительно меньше сил инерции. В случае течения жидкости между пластинами силы инерции при искривлении трубок тока жидкости
,,2
F=-p
и г
dv dt
h
(4.10)
где —--характерное центростремительное ускорение. В общем случае силы
инерции обратно пропорциональны поперечному размеру потока и пропорциональны квадрату скорости. С учетом оценок (4.6) и (4.10) условие (4.8) перепишется следующим образом: Лекция 1
67
V
(4.11)
V2
pT
pvh Re
Здесь Re = — число Рейнольдса, характеризующее отношение сил инер-
ции и сил вязкости. Таким образом, текущую жидкость можно рассматривать как невязкую, если число Рейнольдса для такого течения Re>l. Однако и в этом случае вязкость играет вспомогательную роль. При не очень высоких скоростях течения силы вязкости «гасят» компоненты скорости жидкости, поперечные к потоку, препятствуя, тем самым, возникновению неустойчивого течения и обеспечивая ламинарность потока.
Дадим некоторые оценки течения жидкости по круглой трубе радиуса R.
Число Рейнольдса в этом случае Re = . Если принять радиус трубы R = 1 см
и скорость течения V=I см/с, то для воды (р = IO3 Кг/м3, (Д, = 1,15 • IO"3 кг/(м-с) при t = 15°С) число Re = 86. Это означает, что силы вязкости не существенны, и воду можно рассматривать как невязкую жидкость. Однако это приближение становится несправедливым, если радиус трубки уменьшить на два порядка, и Re=O,86<1. При таком течении распределение давлений и скоростей в потоке уже не подчиняется уравнению Бернулли. Еще в большей степени это относится к вязкому глицерину ((A= 1,4 кг/(м с)). При течении воздуха по трубе (р = 1,3 кг/м3, (д, = 1,8-Ю5 кг/(м-с)) число Рейнольдса приблизительно на порядок меньше его значения для воды. Это указывает на то, что силы вязкости при течении воздуха и других газов играют большую роль, чем при течении воды.
