Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
На примере векторного поля скоростей v = v(x,y,z,t) поясним смысл понятия дивергенции. Для этого рассмотрим неподвижный элементарный объем dV = dxdydx и подсчитаем количество жидкости, втекающей и вытекающей из этого объема за единицу времени.
Рис. 3.11 Лекция 1
53
Введем понятие элементарного потока вектора скорости v через площадку dS:
dNv =vdScosa = vdS, (3.25)
где dS = ndS — вектор, направленный по нормали п к элементарной площадке. Ясно, что поток (3.25) равен объему жидкости, пересекающей площадку dS за единицу времени (рис. 3.12). Он допускает также наглядную геометрическую интерпретацию. В самом деле, в соответствии с определением линий тока, данным в начале этой лекции, их густота характеризует скорость течения. Поэтому величине скорости всегда можно поставить в соответствие количество линий тока, пересекающих площадку с dS = 1 и n Il v. Тогда поток dNv в (3.25) будет определять число линий, пересекающих площадку при ее произвольной ориентации.
Теперь легко подсчитать баланс между втекающей и вытекающей жидкостью для элементарного объема, изображенного на рис. 3.12. Для этого восстановим внешние нормали ,
ко всем шести граням кубика v(x,y,z+^-,t) . у/х у+^У z п
и оценим ПОТОКИ ЖИДКОСТИ УГТТ—* * 2'
через эти грани. Легко понять, что положительное значение потока будет для вытекающей жидкости, а отрицательное — для втекающей. Если скорость в центре кубика v(x,y,z) изменяется при приближении к соответствующим граням, то х при вычислениях это необходимо учесть. Результирующий
ПОТОК определится следую- Puc J 22
щим образом:
dNv =
Vx| X+-y,y,Z,tj- Vx |х- -у, у, Z,t Vy I Х,у +-y,z,tj- Vy ^X, у --y,Z,t
I dz л ( dz ,
vz| X, у, z н — ,tj — vzlx, у, Z —, t
dydz + dxdz + dxdy.
(3.26)
Разделив левую и правую части (3.26) на dxdydz и разлагая компоненты скорости в квадратных скобках в ряд Тейлора, получаем
dN
—V = divv. (3.27)
dxdydz
Таким образом, дивергенция вектора скорости численно равна потоку жидкости через поверхность единичного объема. Если жидкость несжимаема, то, естественно, этот поток должен быть равен нулю (предполагается, что внутри объема нет истоков и стоков жидкости). Графически последнее интерпретируется как равенство количества входящих и выходящих линий 54
Механика сплошных сред
тока для этого объема. Это, в свою очередь, означает, что в окрестности точки, где div v = 0, линии тока не прерываются. Поэтому равенство div v = 0 называют условием несжимаемости.
Из школьного курса физики известно, что силовые линии электростатического поля (аналог линий тока) прерываются только на зарядах. Поэтому для областей, где заряды отсутствуют, мы также вправе написать
,. „ _ ЭЕХ ЭЕу ЭЕ, _
~~ Эх + Эу + IT ~~ ' Силовые линии индукции магнитного ПОЛЯ В
всегда замкнуты (нет магнитных зарядов), поэтому div B = O.
Уравнения Эйлера для идеальной жидкости.
При заданных внешних силах и известных свойствах жидкости можно записать уравнение движения единицы объема несжимаемой невязкой жидкости:
dv
р—= F-grad р, (3.28)
где оператор grad (градиент) определяется как
. . э . э , э
grad = Iarjark^- (129)
Уравнение (3.28) записано в векторном виде и является обобщением одномерного уравнения (3.3).
Расписывая (3.28) для трех проекций скорости, получаем систему уравнений, аналогичных (3.5):
ЭУх + Vx dvx Эх + Vy ЭУх Эу dvj + V7 х z dz = Fx Эр Эх
dvy dt + Vx dv у Эх + Vy dvy Эу dv + V7 dz = Fy / Эр Эу
Syz dt + Vx 3Vz Эх + Vy 3vz Эу dVz) + V7 -- z dz J = Fz Эр dz •
(3.30)
Если эти уравнения дополнить условием несжимаемости
эух Эх
dvv Эу,
= 0
Эу dz
то мы получим полную систему уравнений с четырьмя неизвестными функциями координат и времени (vx, v , vz и р). Уравнения (3.30) называются уравнениями Эйлера и позволяют, в принципе, рассчитать динамику течения жидкости. Однако с математической точки зрения эта система является
г) Vv
нелинейной из-за наличия членов типа Vs
r)V,
, ..., ^ .. . Поэтому интег-Эх dz
рирование этих уравнений и нахождение искомых функций представляет подчас весьма сложную задачу даже при использовании мощных ЭВМ. Из (3.30) можно получить уравнение Бернулли для стационарного течения, когда Лекция 1
55
dv dt
= О . Однако вывод этого уравнения мы предоставляем читателю проделать
самостоятельно, обратившись к рекомендованной литературе. В дальнейшем мы будем использовать уравнения (3.30) для описания волнового движения жидкости и анализа свойств акустических волн.
В заключение отметим, что система (3.30) часто записывается в более компактном виде с использованием оператора градиента. Каждое из трех уравнений (3.30) имеет вид
at
у • grad V
x,y,z = Fx,у,z - (grad р)
x,y,z
Возвращаясь к векторному представлению, получаем возможность записать четыре уравнения Эйлера в виде двух векторных:
at
div v = 0.
+ v • grad
v = F- grad p,
(3.31)
Уравнение непрерывности для сжимаемой жидкости.
При течении газов, особенно при больших скоростях, их плотность может значительно меняться во времени и в пространстве. Ясно, что объем «жидкости», втекающей через поверхность кубика, изображенного на рис. 3.11, может быть не равен объему вытекающей «жидкости». Если этого равенства нет, то масса газа внутри кубика (а с ней и плотность) будет со временем меняться. Уравнение (3.24) в этом случае становится несправедливым. В этом случае можно записать уравнение непрерывности, которое выводится из условия баланса массы газа. Поток массы газа через площадку dS будет равен
