Механика сплошных сред - Алешкевич В.А.
Скачать (прямая ссылка):
dN м = ру • dS, а полный поток через поверхность элемента с объемом dxdydz, аналогично (3.27), равен
dNM = dxdydz • div(pv), (3.32)
где р • V — новое векторное поле. Если этот поток положительный, то масса внутри элемента m = pdxdydz будет убывать за счет уменьшения во времени плотности р . Поэтому, записывая условие баланса массы в виде
dxdydz • div(pv) = -dxdydz(>Р , (3.33)
at
мы получаем (после сокращения на dxdydz) одно из фундаментальных уравнений гидродинамики — уравнение непрерывности сжимаемой жидкости:
^+ div(pv) = 0. (3.34)
at
Следует отметить, что при р = const это уравнение переходит в (3.24).
В электродинамике это уравнение также является фундаментальным. В самом деле, если речь идет о движущихся зарядах, объемная плотность которых равна р, то уравнение (3.34) является математическим выражением универсального закона сохранения заряда. 56
Механика сплошных сред
Уравнения Эйлера и уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости.
Динамика сжимаемой жидкости также базируется на 2-м законе Ньютона, записанном для единицы массы жидкости. Равнодействующая сил давления и внешних сил создает ускорение единицы массы, поэтому
+ V • grad jv = - -і grad р + Г, (3.35)
где W — внешняя сила, действующая на единицу массы. Для определения пяти неизвестных величин (vx, V , Vz, р и р) необходимо дополнить (3.35) уравнением непрерывности (3.34J) и материальным уравнением, связывающим плотность и давление:
р = р(р). (3.36)
Система (3.34) — (3.36) носит название уравнений Эйлера для сжимаемой жидкости. Огромное количество задач газодинамики решается на основе этих уравнений.
Воспользуемся уравнением (3.35) и получим уравнение Бернулли. Для этого видоизменим правую часть (3.35), введя вспомогательную функцию P (2.27), и учтем (2.29), т.е. введем потенциальную энергию единицы массы U1. Тогда (3.35) примет вид
+ vgrad jv = -grad^+Uj). (3.37)
Эу
При стационарном течении — = 0. В направлении оси трубки тока
(вдоль криволинейной координаты і) можно записать
+и'>- <3 38>
Поскольку потенциальная энергия единицы массы U1 (?) = U1 (h) = gh + const,
Р(0 dp
а Р(?) = J —, то, по аналогии с (3.13), перепишем (3.38) в виде
PiW) р
de
V piP dp '
= 0. (3.39)
+ J — + gh
V PiCi) р у
Интегрируя (3.39) вдоль трубки тока, получаем уравнение Бернулли для сжимаемой жидкости:
V2 p(rh) dp
— + J + gh = const. (3.40)
Pi(H1) P
Здесь h — высота сечения трубки тока с координатой і. Очевидно, что р(^) = p(h), Pi C |) = Pi (Ii1). Постоянная в (3.40) определяется заданием скорости V1 и высоты Ii1 для фиксированного сечения с координатой ,. С учетом этого, уравнение (3.40) можно переписать в виде Лекция 1
57
TdP ь ь
+ J —+ gh = —- + ghp
Pi(hi) P
(3.41)
Для практического использования уравнения Бернулли необходимо знать связь между р и р. В случае несжимаемой жидкости (р = const) уравнение (3.41) переходит в (3.15).
Если речь идет о потоке газа «сжимаемой» жидкости, то при быстром сжатии (увеличении плотности) газ будет нагреваться. Из-за плохой теплопроводности газа тепло не будет успевать уходить из нагретых областей. Поэтому для установления связи р = р(р) воспользуемся адиабатическим приближением:
Pi
PI
(3.42)
где показатель адиабаты у > 1. Такая связь получается из первого начала термодинамики и уравнения состояния идеального газа (2.32) при условии отсутствия теплообмена между нагретой областью и окружающей средой. Давление в (3.42) возрастает с плотностью быстрее, чем при изотермическом процессе, так как у > 1. В курсе молекулярной физики будет показано,
что у = Cp / Cv (Cp и Cv — теплоемкости при постоянных давлении и объеме соответственно). Для воздуха, состоящего главным образом из двухатомных газов, у = 1,4.
Если подставить (3.42) в (3.41) и выполнить простейшее интегрирование, то можно определить распределение давления вдоль трубки тока:
P = Pi 1-
Y-Ip
Y Pi
i(v2-v?) + g(h-hl)
і у-1
(3.43)
Будем считать трубку тока горизонтальной (h = Ii1), а скорости течения такими, что
YPi
1| 2 21 1
-V -V1 <-
21 I Y-I P1
Y-I
(3.44)
Pi
где C1 = Jy- — параметр, имеющий размерность скорости. Как мы увидим Pi
несколько позднее, этот параметр определяет скорость звука в газе
P
(3.45)
При нормальных условиях скорость звука в воздухе с = 330 м/с. В этом случае (3.43) можно разложить в ряд:
P = Pi
1-
Pi Pi
V -V1 2
2 Л
V
Apl
2ур2
V -V1 2
2 Л
V
(3.46) 58
Механика сплошных сред
Если скорости течения газа считать малыми (v, V1 << C1), то в (3.46) можно пренебречь квадратичным и более высокими членами разложения. В этом случае распределение давлений соответствует течению несжимаемой жидкости с плотностью P1=Const. Квадратичный член начинает давать вклад в распределение давлений при скоростях потока, соизмеримых со скоростью звука C1.
Подставив (3.42) в (3.43), получим распределение плотности вдоль трубки тока:
Для горизонтальной трубки тока и при условии (3.44) распределение плотности (3.47) после разложения в ряд примет вид:
