Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
уровень примесной молекулы близок к какому-либо уровню
молекулы основного вещества, тогда как прочие уровни примесной
молекулы расположены столь далеко, что смешиванием состояний в
примесной молекуле можно пренебречь.
В этом случае систему уравнений (2,3) можно представить в
следующем виде:
ей = Ми 4- М{1)а, (3,1)
где z - E- Ау, а матрицы М и Л1(1) определяются соотношениями:
Mnm = (0f\Vnm\f0) при п ф т, пфО, т Ф 0; (3,2а)
Мпт = 0 при п = т; (3,26)
М{пт = (д;,-Д/) +[<0/| V'na | /i0)-<0/)р-я0|/0>] 6)n0(l - вя0) +
-h Е<0/1 | /20> - <0/1 j/0>] 6л0 (1 - firno). (3,2B)
При M(1) = 0 уравнение (3,1) уже было рассмотрено в гл. I.
Оно возникает при отыскании энергии и волновых функций эксито-
нов в идеальном кристалле в гайтлер-лондоновском приближении.
Используя резольвенту, перепишем уравнение (3,1) в виде
и -(г - Ж) ~1 м!Л)и.
(3.3)
208
ЛОКАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. VI
Для написания резольвенты достаточно знать решения
невозмущенной задачи
ей = Ми.
Поэтому, используя результаты, полученные в гл. II, находим
(Е^-МГ1 - 1 У (к) (к) g/k (rnra~rmft)
т>па, щ - N 2j е-?" (к) *
дк
'V-
(3,4)
Подставляя (3,4) в (3,3) и используя (3,2), получаем
1 "ац(к)егкГпа
и (па) = Jj _
k,u
*
-f- "1ц (к)
2'e~ikr*"PjP(i (к) Л1шр, 01
шВ
и (01)
^ Ж01, шр и (тр) - (А/ - А/,) "1ц(к)и(01) |, (3,5)
тр
где
Мтр, 01 = <0/1 PmiJ, 0l|/l0) - (о/1 9'тЪ, 01 ! АО).
(3,6)
Введем теперь обозначения
\ (к) = 2 Vkr,np%i (к) ^oi, шр. 3S = '?' М01, тр и (т|3)
(3,7)
шр
и заметим, что значения и (па) зависят от двух неизвестных
параметров: 9) и "(01). Для определения этих параметров
умножим уравнение (3,5) на Afoi, па и просуммируем по всем
значениям (па) =^=(0, 1). В результате получается уравнение,
связывающее величины S3 и и (01). Для того чтобы получить
второе уравнение, положим в (3,5) (па)=(01). Таким образом, мы
получаем следующую систему двух уравнений с двумя
неизвестными:
1 -""i ".I, (к) , *
"<01>=туЬт=!таК(к)"<01>+
кц
+ (А/ - А;,) ищ (к) и (01) + и1(1 (к) 3}, (3,8а)
кц
Ai (к) г *
{Л (к)"(01)
¦ Ей (к)
- (Л/ - А;,)"1й (к) и (01) + "1|г (к) &}. (3,86)
Система уравнений (3,8) имеет нетривиальные решения только в
том случае, если ее детерминант обращается в нуль. Это условие
служит для определения собственных значений е, которые, таким
СОСТОЯНИЯ В ОКРЕСТНОСТИ ВАКАНСИИ И ПРИМЕСЕЙ
209
образом, удовлетворяют уравнению
Т(г) = 0, (3,9)
где
Т (е) =
1 1 vl лц(к)|2+лц(к)м1ц(к)(А/ -Ад)
N 2J е - ?"(к) ' е - ?" (к)
кр. kjLt
1 V I "Hi (к) Р , 1 V м1н (к) Л (к) " (А/ - А/,) I "ш <к) Р
/V^e-^(k)' }vZl е-^ (к)
kjj. k|j.
(3,10)
Локальные состояния в примесном кристалле существуют только
в тех случаях, когда уравнение 7'(е)=0 имеет вещественные
корни, расположенные вне области непрерывного спектра. Иногда
это условие не выполняется.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
а) Вакансия в кристалле (см. также [2, 9]). Так как
вероятность локализации возбуждения на вакансии равна нулю,
и(01) = 0. Поэтому для того, чтобы величина Q) была отлична от
нуля, необходимо, согласно (3,8), чтобы значение е
одновременно удовлетворяло условиям
1 l"in(k)!2 1 Ai(k)"1[x(k)
"¦ СЗ.Ч)
N k) ' N JU е-?ц(к)
кр. kj,i
Второе из этих уравнений можно несколько преобразовать. Дей-
ствительно, в случае вакансии
^тр, 01 = - (0/ I Vт<з, 01 | /0),
лц(к) = - 2^013,01"р.ц (к) е,кГт'3 = - Е (к) "! (к).
ш|3
Поэтому
1. V '4м. (к) "ill (к) 1 V1, ,л ч ,0 Е V I "'И (к) I
I "in (к) I2 - лг ^
|2
NAU е - (к) n N^Ut - E^iк)
kjj. kjx к|л
и, используя условие нормировки
21 "щОО I2 =1 *
и
убеждаемся, что второе из соотношений (3,Н) принимает вид
? I иш (Ю I2
14 В. М. Агранович
210 ЛОКАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ В МОЛЕКУЛЯРНЫХ КРИСТАЛЛАХ [ГЛ. VI
Таким образом, окончательно находим следующее уравнение для
определения энергий локальных состояний:
= (3.13)
кц
Из этого уравнения, в частности, следует, что в кристаллах с
одной молекулой в элементарной ячейке локальные состояния рас-
сматриваемого типа под влиянием вакансий не возникают.
Действительно, в этом случае /-му молекулярному терму
соответствует только одна зона, так что в сумме по |1,
фигурирующей в (3,13), содержится только одно слагаемое. Если
же е лежит вне экситонной зоны, т. е. если е > Е (к) или
e<i:(k), левая часть уравнения (3,13) не обращается в нуль ни
при каких значениях е.
Аналогичное заключение можно сделать также относительно кри-
сталлов типа кристаллов нафталина, где обе зоны давыдовского
расщепления для некоторых направлений к смыкаются (см. гл. 1),
образуя как бы единую зону непрерывного спектра энергий.
Однако в этих рассуждениях мы принимали во внимание лишь
один терм / молекул основного вещества. Если же не делать
такого допущения, то даже в кристаллах с одной молекулой в
элементарной ячейке, благодаря вакансии, локальные состояния
возникают. Действительно, примем во внимание в (3,13) две зоны
|л - 1,2 и предположим, ради простоты, что расстояние между
