Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Вычисления будем вести, ради простоты ограничившись для
кулоновских экситонов приближением Гайтлера-Лондона. В этом
приближении (см. § 2 гл. II)
B"f = YW 2 иа^п(к)е1^В^п(к). (2,9)
к, ц(/), /
Подставляя это соотношение в (2,1), (2,4), (2,8), а затем
используя формулы перехода от бозе-операторов akJ, В^(к) и В*
(к) к бозе- операторам ls (к) и (к) [см. (2,2) гл. III],
находим для опера
тора коэффициенты W, фигурирующие в формуле (1,3). В соот-
ветствии с тем, что оператор Н111 выше был представлен в
виде
суммы трех слагаемых Й\1,2, з. коэффициенты W также удобно
представить в виде суммы
Ц7 = Г,|Гг+117з. (2,10)
Здесь величина обусловленная наличием энгармонизма в системе
кулоновских экситонов, определяется выражением
Г,(к" kV; k+k'. "•>- ^3
И (/') И ig)
X f Mk + k', ц (/') ) Мк'ц (/) (S ) Мкц ig) (S)
+ "(/', (s") ^-к'дф (*') ^(*> (s)] -ь
к/--к~к') ("0(r)к+к.1(1,,,("") + + V (/-, W ^ "к+к-, ц (s'°l +
+ "к~к/- к,)К(/'/5)^+к-,д(/,(5")мк'^г,(^)-ь
+ (S) "к+к-. д1/, (*'>]. (2,11)
ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ КУБИЧЕСКОГО АНГАРМОНИЗМА
181
где
^(ЛдСПЖг)^' к ' к - к )~
= 2 *'кп (0/| "р | f'g) ищ (/) (к)и а]1 (/) (к') и (в) (к - к').
(2,11а)
оря
Величинам W2 и W3 отвечают члены кубического энгармонизма,
содержащиеся в полном гамильтониане кристалла и возникающие за
счет оператора взаимодействия экситонов и поперечных фотонов.
В частности, оператору W2 отвечают члены энгармонизма, линейные
относительно оператора векторного потенциала поля поперечных
фотонов. Величина W2 определяется следующим выражением:
Г2(к5; kV; k + k', 0 = ;/№2^ffi{^(,Ulf/)(k, k + k', k')X
X К j <s> "k+k''. Me) MkW) <s'> + uk j (sK+k-. ,*(*, <W(/)
(5')] +
+ -k-k/)["k/s)t'k-|lte)(*')"h+k.lU(/,(0 +
+ Vkj (*) Мк'ц (*') ц (/) (O] +
+ -k. k') ["k+k,,/s'0%,,)(*Kw,(0 +
+ "k+k'./^V^W^Vj^')] }• (2,12)
где
rSw"(/.<k'k<' k'-k>"
" (w Г 2 I <Й> (r) I /> '-/V III <k'> ""(Я <k' - k) =
= 7'Sw",/><-k- -k,-k-h'). (2.12a)
Величину Г3 приводить не будем, поскольку она существенна лишь
при рассмотрении комбинационного рассеяния рентгеновских лучей
в кристаллах с образованием экситонов [14]. В оптическом же
диапазоне спектра эта величина в большинстве случаев по
сравнению с и W2 мала.
Малость величины W3 для того случая, когда волны ks, k's' и
k + k', s" лежат в оптическом диапазоне, обусловлена тем, что
фигурирующие под знаком суммы (2,8) слагаемые пропорциональны
изменению волнового вектора волны. Это обстоятельство приводит
к появлению в малого параметра |к-к'| а, где а - размер
182
НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ
[ГЛ. V
элементарной ячейки, так что в оптическом диапазоне спектра |
к-к' \ а - у - 1СГ3.
В то же время в рентгеновской области возможно
| к - к' | а ~ 1.
В той области частот, где к) для всех 5 и где
M'sc^hkc, как это видно из (2,3) и (2,4) гл. III, коэффициенты
малы (ик^~г;кц~Г(У1ф)/^1<с; О. тогда как мку- 1, Ку1<С1-
Поэтому в рентгеновской области спектра имеет место обратная
ситуация. Именно, величины It7, и W2 [см. (2,11), (2,12)] здесь
малы по сравнению с W3.
Весьма громоздкие выражения для и W2 уцрощаются, если
энергия хотя бы одной из волн ks, kV или k -j- к', s" близка к
энергии кулоновского экситона. Действительно, пусть, например,
энергия §%(к) близка к энергии экситона ? (к). В этом
случае,
как видно из соотношений (2,4) гл. III, величина | uk[i (s)
| мала
по сравнению с 1 ик[А (/) (^) |, тогда как отношение
vk , (s) п - 1
(2ЛЗ)
где " = hkcfgs (k) - коэффициент преломления волны ks. Что же
касается коэффициентов Mk^(s), fk^(s), р=?р(/), то в рассматри-
ваемом случае они также малы по сравнению
с икц (/)($). Поэтому
в выражениях для И/, и W.2 в этом случае достаточно сохранить
лишь слагаемые, содержащие множитель "k(i(^(s).
Выражения W] и W2 еще более
упрощаются, если наряду
с g=s(k)~?'n(/)(k) энергия (к') также близка к энергии
какого-
либо кулоновского экситона ? ^ (к).
Выше при получении выражения для W в качестве
состояний
нулевого приближения были использованы реальные нормальные
волны в среде, которые, как это было показано в гл. III,
возникают при учете "смешивания" кулоновских экситонов и
поперечных фотонов.
Если этим "смешиванием" пренебречь, то приближенно вместо фор-
мул (2,11), (2,12) можно получить результаты работы Лудона
[27], в которой при вычислении вероятностей нелинейных
оптических процессов в качестве состояний нулевого приближения
использовались кулоновские экситоны и поперечные фотоны, а все
взаимодействие между ними рассматривалось как слабое
возмущение.
Пренебрежение "смешиванием" означает, что величины T"k)1(s) и
vhj (s)> фигурирующие в (2,2) гл. Ш, следует положить равными
ОПЕРАТОР ЭНЕРГИИ КУБИЧЕСКОГО АНГАРМОНИЗМА
183
нулю. Кроме того, поскольку взаимодействие между фотонами и
экси- тонами предполагается слабым, новые состояния s, по
которым ведется в (2,2) суммирование, должны слабо отличаться
либо от состояний поперечных фотонов (в этом случае aky(s)~l,
