Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Сделав допущения (5.131) — (5.133) и совершив в (5.130) предельный переход при At -»-0, получим первое уравнение Колмогорова:
е. * *.*>+fl {t, X)т'г) + j- ь (і, X) * (tgT'г) =о.
(5.134)
Для вывода второго уравнения Колмогорова обозначим [ре, ?] промежуток изменений у. В частном случае этот промежуток есть [—оо, оо]. Если а и ? конечны, то для значений у вне промежутка [а, ?] справедливо равенство <р (t, х\ г, у) = 0 при любых t, X VLX.
Введем в рассмотрение некоторую вспомогательную (не случайную) функцию R (х), неотрицательную и дважды непрерывно дифференцируемую в промежутке [а, ?] и удовлетворяющую условиям
R (а) = R (?) = R' (а) = R' (?) = R" (а) = R" (?) = 0.
(5.135)
В остальном функция R (х) произвольна. і 71] уравнения колмогорова 253
P
^bfI R(z)dz = Hm ±y<p(t,x-,x + &T,z)-
Напишем очевидное равенство:
?
' Эф
Дт-»о '
м. w
— 9(<,z;'T,z)]A(z)<Jz. (5.136)
Первый член подынтегрального выражения правой части этого равенства заменим, используя уравнение Колмогорова — Чепмена, написанное в виде
Ф (*, х\ т + Дт, z) = J ф (t, X; т, у) ф (т, у; т + Дт, z) dy. (5.137)
а
Получим
P P
= Jim [ JЛ(Z)dz ^ф(«,гс;т,у)ф(т,г/;т + ax,z)dy — ДТ"*° а а р
-^Ф(і,ж;т,г)Л(г)гіг]. (5.138)
а
Изменим в первом члене правой части порядок интегрирования, а затем заменим в нем обозначения переменных интегрирования у на z, a z на у:
Id*^* R(z)dz =
а
Р й = Iim 1J<Р («. X, у) dy J ф (<, у; т + Дт, z) Я (z) dz —
^t-*0 а а
— ^ф(і,ж;т,г)R(z)dz] = lim ^^ ф(*,а;;т,г) dz X
а Д*-»0 в
P
X IJJ ф (т, z; т + At, у) R (у) dy-R(z)]. (5.139)
а
В квадратных скобках правой части (5.139) применим для R (у) формулу 'Гэйлора, а затем используем равенства 254
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
(5.131) - (5.133):
Um [ J ф (т, Zi X + Дт, у) R (у) dy - R (ж)] -P
= lim jLJ<f(x,z-,T + &x,y)[R(z) + (y-z)R'(z) + + і (у - zf R' (z) + о (у- zf) dy-R (Z) =
1 P
= R'(z) lim -yy-z)<f>(x,z;x + ax,y)dy + P
+ J R' (Z) lim (If - z)s ф (т, z; t + Дт, y) dy +
1 P
+ lim j-K o(y — г)4ф(т,г;т + At,y)dy =
a
= о (г, z) Д' (z) +1Ь (X, z) R" (z). (5.140)
Подставим (5.140) в (5.139) и применим формулу интегрирования по частям, чтобы вместо производных R' (z) и R" (z) под интегралом фигурировала сама функция R (z). Вследствие выполнения условий (5.135) внеин-тегральные члены обращаются в нуль, и мы получаем
- T-W Ifc (*• z> cP (*. т- Z)1} д (2)dz = (5-141)
Из того, что интеграл (5.141) равен нулю при произвольной внутри промежутка [а, ?] функции R (z), следует, что выражение в фигурных скобках под знаком интеграла равно нулю:
m^L + ^la(x,z)^(t,x;x,z)]-
-у-Ц-[Ь(т,г)ф(*,х;т,г)] = 0. (5.142) Это есть второе уравнение Колмогорова. і 71] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА
255
Уравнения Колмогорова являются линейными однородными уравнениями в частных производных второго порядка. Второе уравнение Колмогорова в ряде конкретных задач использовалось физиками и называется также уравнением Фсккера — Планка.
Если процесс является стационарным,
то
ф it, х\ т, у) = Ф (0, я; т — t, у),
Зф (0, x\X — t, у) _ 3<р(0, x\X — t,y) дх ~ dt
(5.143)
Если, кроме того, функция ф зависит только от разности iy — х), а не от X и у отдельно, то, во-первых, как показывают равенства (5.131) и (5.132), функции а и Ъ становятся константами и, во-вторых, справедливы равенства
Эф (0,0;T - <, у -g) frp(0,0;T-f,y-s) (t-
Щ , [О.ЇФІ)
№f(0,0-,x-t,y-x)_afrf(0,0-,x-t,y-x) »,.ь -djji---^5-. (0.140)
В этом случае сравнение (5.134) и (5.142) показывает, что первое и второе уравнения Колмогорова совпадают.
Задача 83. Функция ф {t, х; t + At, у), определяющая случайный процесс при At О, есть
Ф (t, х; t + At, у) = у== е'^- (5.146)
Написать уравнение Колмогорова.
Решение. Так как функция ф зависит только от разностей аргументов {t + At) — t = At (процесс стационарный) и разности {у — х), то первое и второе уравнения Колмогорова совпадают. Поскольку (5.146) — нормальная относительно iy — х) функция с равным нулю математическим ожиданием, то
oo
а(х, t) = Iim J iy — х)ф(0,0;At,y — x)diy — x) = 0. 256
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
[ГЛ. 5
Дисперсия, отвечающая ей, равна В Аt\ следовательно,
OO
b(x,t)= lim -—^(у — х)\(0,0: At, у — x)d(y — х) =
— oo
= Iim L BAt = B.
at-+о а*
Легко проверяется условие (5.133).
Оба уравнения Колмогорова сводятся к уравнению
iSfiibJi + (5.147)
где
Фо (г, у) = Ф (0, 0; т, у). (5.148)
Уравнение (5.147) называют одномерным уравнением диффузии или уравнением теплопроводности. Если принять начальное условие, что в момент t = О случайная функция была равна х, т. е. принять граничное условие Фо (0, у) = б (у — х), то решение уравнения (5.147) позволит получить фо (т, у) dy, вероятность того, что в момент т случайная функция примет значение в промежутке [у, у + dy]. Физическими примерами такой случайной функции являются координата частицы при одномерном случайном блуждании (например, при одномерном броуновском движении) или координата кванта тепловой энергии в процессе диффузии тепла в одномерном стержне. Так как уравнение (5.147) является линейным однородным, то, написав произвольное число таких уравнений для соответственного числа частиц, совершающих одномерное броуновское движение, или квантов тепловой энергии, диффундирующих в одномерном стержне, и сложив эти уравнения, мы снова получим уравнение вида (5.147). Но в этом уравнении граничные условия будут определяться функцией распределения блуждающих частиц на оси движения в начальный момент или, во втором примере, функцией распределения температуры в одномерном стержне в начальный момент (так как температура в шкале Кельвина в однородном стержне пропорциональна плотности распределения в нем квантов тепловой энергии). Решение уравнения (5.147) даст функцию распределения блуждающих частиц на оси движения в проиэ- і 71] УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВА
