Теория вероятностей для астрономов и физиков - Агекян Т.А.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 77. Найти, как ведет себя р (J1, Xj; J2, xj) = = jo (0, Xi; т, для случайной функции задачи 72, если т = J2 — J1 бесконечно мал б.
Решение. Процесс, рассмотренный в задаче 72, стационарный. Пусть число частиц в цилиндре при некотором значении аргумента J равно к. Тогда условная вероятность того, что при смещении цилиндра на т число частиц в нем уменьшится на 1, равна кх. Вероятность того, что число частиц увеличится на 1, равна пх, а вероятность того, что число частиц не изменится, равна 1—кх — пх. События, состоящие во входе в цилиндр и выходе из него двух и более частиц, рассматривать не следует, так как их вероятности второго и более высокого порядка малости относительно т. Итак,
р (0, к; X, к — 1) = кх, р (0, к; X, к + 1) = пх, (5.48)
р (0, Ar; т, к) = 1 — Anr- пх.
Из (5.48) видно, что рассмотренный процесс чисто разрывный.
Задача 78. Найти р (0, т; dt, т') для случайной
ФУНКЦИИ — ВИДИМОЙ ВеЛИЧИНЫ к-Й ПО ЯРКОСТИ 8В63ДЫ в
квадратной площадке, площадью 1 кв градус, перемещающейся вдоль галактической параллели. Среднее число звезд до видимой величины т в 1 же градусе поверхности неба на данной широте равно N (т). Для решения задачи использовать решение задачи 73.
Решение. Пусть при значении аргумента J видимая величина к-й по яркости звезды в площадке равна т. I 65] ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
231
При смещении площадки на dt, если из площадки выйдет одна из к звезд с видимой величиной т, то видимая величина к-й но яркости звезды увеличится, станет равной видимой величине (к + 1)-й по яркости звезды площадки. Вероятность этого события равна kdt. Если видимая величина к-й звезды равна т, то вероятность того, что видимая величина (к + 1)-й звезды заключена в промежутке [rri, т' + dm'], равна e-N(m')+jv(m) дг' (m') dm'. Таким образом, если т' > т, то
Ф (0, т; dt, т') = kdi-e~N^N^N' (m'). (5.49)
Видимая величина к-й по яркости звезды в площадке уменьшится, если в площадку войдет звезда с видимой величиной < т. Вероятность этого события — N (т) dt. Если видимая величина вошедшей звезды больше видимой величины (к — 1)-й по яркости звезды, то к-й по яркости звездой станет вошедшая в площадку звезда. Используя решение задачи 63, найдем вероятность того, что видимая величина к-й по яркости звезды окажется в этом случае в промежутке [m', т' + dm']: эта вероятность равна
Если видимая величина вошедшей звезды меньше видимой величины (к — 1)-й по яркости звезды, то последняя после этого станет к-й по яркости. Используя решение задачи 63, найдем, что вероятность того, что в этом случае видимая величина к-й по яркости звезды окажется в промежутке [m', т' + dm'], равна
(je _ і) N' (m') dm'N{т')dt. (5.51)
Складывая (5.50) и (5.51), найдем для случая т' </и Ф (0, т; dt, т') dm' = ft N' ^ dm'dL (5-52)
Если при сдвиге площадки на dt из нее не выйдет ни одна из к звезд с видимой величиной < т и не войдет ни одна звезда с видимой величиной < т, то видимая 232
СЛУЧАЙНАЯ ФУНКЦИЯ
ІГЛ. 5
величина Аг-й по яркости звезды останется неизменной. Вероятность этого события равна 1 — kdt — N (тп) dt. Следовательно, при тп' = тп
Ф (0, тп; dt, тп) = 1 — kdt — N (m) dt. (5.53)
Выражения (5.49), (5.52) и (5.53) полностью определяют переходные вероятности рассмотренной случайной функции. Рассматриваемый процесс, очевидно, является чисто разрывным.
Задача 79. Требуется найти переходную вероятность L (0, ?;*U, ? + A?) <ІА, описывающую случайный процесс — изменение квадрата скорости звезды в звездном поле вследствие случайных двойных сближений со звезім»
дами поля. P= ^=Tj-—отношение квадрата скорости звезды
к квадрату средней квадратичной скорости звезд поля. L (0, ?; dt, ? + A?) dh есть вероятность того, что за время dt изменение ? будет заключено в промежутке [A?, (А + dA)?J при условии, что в начальный момент ?= =?. Воспользоваться соотношением
h =--L^ + J _ A2] , (5.54)
1 + 4ц*
полученным С. Чандрасекаром для случая, когда массы всех звезд одинаковы. Здесь g — прицельное расстояние между сближающимися звездами, т. е. то наименьшее расстояние между ними, которое было бы достигнуто в случае движения без взаимодействия по прямым линиям, ц — произведение массы звезды на постоянную тяготения, к = Vi/u — отношение скорости звезды поля, с которой происходит сближение, к скорости рассматриваемой звезды, а — угол между векторами скоростей этих звезд, s = cos 0 — косинус угла между плоскостью орбиты при сближении и плоскостью, проходящей через вектора скорости звезд (если бы они выходили из одвой точки), W — относительная скорость звезд, определяемая равенством
и? = (1 + А» — 2к cos а) ?^. (5.55)
Функция распределения скоростей звезд поля / (к) известна. I 65] ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ 233
Решение. При двойном сближении звезд Н, S, К, a, G являются случайными величинами (как и раньше, чтобы отличать случайные величины от значений, которые они принимают, обозначаемых в рассматриваемом случае h, s, к, a, g, использованы прописные буквы или полужирный шрифт). Четыре последние из них взаимно независимы и полностью характеризуют сближение. Математическое ожидание числа сближений за время dt бесконечно малб. Оно равно вероятности, что за время dt произойдет одно сближение. Рассмотрим случайные векторы (H, ?, К, a, G) и (S, ?, К, а, G). Справедливо равенство
